理系

問題 \(a, b, c\)は実数で、\(a\geq 0, b\geq 0\)とする。$$p(x) = ax^2+bx+c, q(x) = cx^2 + bx + a$$とおく。\(-1\leq x\leq 1\)を満たすすべての\...

問題 自然数\(n = 1, 2, 3, \cdots\)に対して、\((2-\sqrt{3})^n\)という形の数を考える。これらの数はいずれも、それぞれ適当な自然数\(m\)が存在して\(\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\...

問題 \(k > 0\)とする。\(xy\)平面上の二曲面$$y = k(x-x^3), x = k(y-y^3)$$が第一象限に\(\alpha \ne \beta\)なる交点\((\alpha, \beta)\)をもつよう...

問題 \(\alpha, \beta\)は複素数で、\(\alpha\)の絶対値は\(1\)とする。このとき\(z + \alpha\bar{z} +\beta =0\)を満足する複素数\(z\)があるための必要十分条件は\(\al...

問題 \(2\)次の正方行列\(X, Y\)は\(XY = Y X\)のとき交換可能であるという。\(2\)次の正方行列\(A\)と\(B\)は交換可能ではないが、\(A\)と\(AB\)は交換可能であり、\(A\)と\(BA\)を...

問題 \(\{a_n\}\)を正の数からなる数列とし、\(p\)を正の実数とする。このとき$$a_{n+1} > \frac{1}{2}a_n-p$$をみたす番号\(n\)が存在することを証明せよ。 方針 漸化式を...

問題 放物線\(y = \frac{3}{4}-x^2\)を\(y\)軸のまわりに回転して得られる曲面\(K\)を、原点を通り回転軸と\(45^\circ\)の角をなす平面\(H\)で切る。曲面\(K\)と平面\(H\)で囲まれた立...