math [math]1971年京都大学理系数学問題2
問題
\(\alpha, \beta\)は複素数で、\(\alpha\)の絶対値は\(1\)とする。このとき\(z + \alpha\bar{z} +\beta =0\)を満足する複素数\(z\)があるための必要十分条件は\(\al...
理系
math math [math]1998年後期京都大学理系数学問題1
問題
\(2\)次の正方行列\(X, Y\)は\(XY = Y X\)のとき交換可能であるという。\(2\)次の正方行列\(A\)と\(B\)は交換可能ではないが、\(A\)と\(AB\)は交換可能であり、\(A\)と\(BA\)を...
math [math]2003年京都大学理系後期数学問題4
問題
\(\{a_n\}\)を正の数からなる数列とし、\(p\)を正の実数とする。このとき$$a_{n+1} > \frac{1}{2}a_n-p$$をみたす番号\(n\)が存在することを証明せよ。
方針
漸化式を...
math [math]1983年東京大学理系数学第6問
問題
放物線\(y = \frac{3}{4}-x^2\)を\(y\)軸のまわりに回転して得られる曲面\(K\)を、原点を通り回転軸と\(45^\circ\)の角をなす平面\(H\)で切る。曲面\(K\)と平面\(H\)で囲まれた立...
math [math]1999年京都大学理系後期数学問題3
問題
\(\alpha\)を正の定数として、数列\(a_n, b_n (n\geq 1)\)を次の式で定める。$$2a_{n+1} = \alpha(3{a_n}^2 + 2a_nb_n-{b_n}^2-a_n+b_n)$$ $$2...
math [math]2002年京都大学理系数学第4問
問題
\((1)\) \(x \geq 0\)で定義された関数\(f(x) = \log(x + \sqrt{1+x^2})\)について、導関数\(f^{\prime}(x)\)を求めよ。\((2)\) 極方程式\(r = \the...
math [math]1973年東京大学理系数学問題2
問題
\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)はおのおの\(0, 1, 2\)のどれかの値をとる。$$f_1 = \sum_{i=1}^{n}{}x_i, f_2 = \sum_{i=1}^{n}{{x_i}^2}$$のと...
math [math]1961年東京大学理系数学問題2
問題
\(x\)の\(4\)次式\(f(x)\)において$$f(-0.2)=2.226, f(-0.1)=2.460, f(0)=2.718, f(0.1)=3.004, f(0.2)=3.320$$であるとき、\(f^{\prim...
math [math]1997年京都大学理系前期問題6
問題
曲線\(y = \cos{x}\)の\(x = t \left(0 < t < \frac{\pi}{2}\right)\)における接線と\(x\)軸、\(y\)軸の囲む三角形の面積を\(S(t)\)とする。\((...
math [math]2016年京都大学理系数学問題2
問題
素数\(p, q\)を用いて$$p^q + q^p$$と表される素数をすべて求めよ。
方針
\(p, q\)が両方奇数ならば、\(p^q + q^p\)は偶数になる。
解答
\(p, q\)が\(2\)...