理系

問題 \(2\)以上の自然数\(n\)に対して、\(n\)を割り切る素数の個数を\(f(n)\)とする。例えば\(n = 120\)のとき、\(120\)を割り切る素数は\(2\)と\(3\)と\(5\)なので、\(f(120) =...

問題 \(x^{100}-3x^{10}-2x-1 = 0\)を満たす実数\(x\)の個数を求めよ。 方針 \(-1<x<1\)のときは\(x^{100}\)はとても小さいので、無視できる。 解答 ...

問題 複素数\(a, b, c\)に対して整式\(f(z) = az^2+bz+c\)を考える。\(i\)を虚数単位とする。\((1)\) \(\alpha, \beta, \gamma\)を複素数とする。\(f(0) = \alp...

問題 \(a\)を正の定数とし、放物線\(\displaystyle y = \frac{x^2}{4}\)を\(C_1\)とする。\((1)\) 点\(P\)が\(C_1\)上を動くとき、\(P\)と点\(\displaystyl...

問題 \(\alpha\)を正の実数とする。\(0\leq \theta \leq \pi\)における\(\theta\)の関数\(f(\theta)\)を、座標平面上の\(2\)点\(A(-\alpha, -3), P(\thet...

問題 \(xyz\)空間において、\(x\)軸を軸とする半径\(2\)の円柱から、\(|y|<1\)かつ\(|z|<1\)で表される角柱の内部を取り除いたものを\(A\)とする。また、\(A\)を\(x\)軸のまわりに\...

問題 （\(60\)点）実数が書かれた\(3\)枚のカード\(\fbox{0}, \fbox{1},\)\(\fbox{\(\sqrt{3}\)}\)から、無作為に\(2\)枚のカードを順に選び、出た実数を順に実部と虚部にもつ複素数...

問題 方程式$$(x^3-x)^2(y^3-y) = 86400$$を満たす整数\((x, y)\)をすべて求めよ。 方針 \(86400 = 2^7\cdot 3^3\cdot 5^2\)であるから、左辺を因数分解する...

問題 次の各問に答えよ。（\(35\)点）問\(1\ \ \) 定積分\(\displaystyle \int_{1}^{4}{\sqrt{x}\log{(x^2)}dx}\)の値を求めよ。問\(2\ \ \) 整式\(x^{202...

問題 実数\(a, b, c\)に対して\(F(x) = x^4+ax^3+bx^2+ax + 1, f(x) = x^2+cx+1\)とおく。また、複素数平面内の単位円周から\(2\)点\(1, -1\)を除いたものを\(T\)と...