math [math]2017年東京大学文理共通文系問題4理系数学問題4
問題
\(p = 2 + \sqrt{5}\)とおき、自然数\(n = 1, 2, 3, \cdots\)に対して$$a_n = p^n + \left(-\frac{1}{p}\right)^n$$と定める。以下の問に答えよ。ただ...
過去問
math math [math]2002年度前期京都大学文系数学問題1
問題
数列\(\{a_n\}\)の初項\(a_1\)から第\(n\)項までの和を\(S_n\)と表す。この数列が、$$a_1 = 0, a_2 = 1, (n-1)^2a_n = S_n\ (n\geq 1)$$を満たすとき、一般項...
math [math]1992年京都大学後期文理共通問題文系2理系1
問題
\(0\)でない\(x\)の整式\(f(x)\)に対し、\(\displaystyle F(x) = \int_{0}^{x}{f(t)dt}, G(x) = \int_{x}^{1}{f(t)dt}\)とおく。ある定数\(p...
math [math]2006年度防衛医科大学校数学問題4
問題
区間\(-a<x<a\ (a > 0)\)で定義された実数値をとる関数\(f(x)\)は、次の条件を満たしている。\((i)\) 定義域内の\(x\)で、\(f(x)\)は微分可能であり、\(f^{\prim...
math [math]1999年度防衛医科大学校数学問題2
問題
\(f(x) = x^2 + 4n\cos{x} + 1-4n\ (n = 1, 2, 3, \cdots)\)を考える。\((1)\) \(\displaystyle f(x) = 0, 0 < x < \fra...
math [math]2001年度防衛医科大学校数学問題2
問題
\(x \geq 1\)で定義されている関数\(f(x)\)は連続な導関数\(f^{\prime}(x)\)をもち、次の条件を満たしている。$$f(1) \leq f^{\prime}(x)\leq \frac{f(x)}{x...
math [math]1970年東京大学理系数学問題1
問題
\(i\)を虚数単位とし\(\displaystyle a = \cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}}\)とおく。また\(n\)はすべての自然数にわたって動くとする。このとき\((...
math [math]2021年東京工業大学数学問題3
問題
\((1)\) 正の整数\(n\)に対して、二項係数に関する次の等式を示せ。$$\begin{eqnarray}n\ {_{2n}\mathbb{C}_{n}} & = & (n+1){{_2n}\mathbb...
math [math]1997年京都大学理系後期数学問題4
問題
次の連立方程式\((*)\)を考える。$$(*)\begin{cases}y = 2x^2-1 \\ z = 2y^2-1\\ x = 2z^2-1 \end{cases}$$\((1)\) \((x, y, z) = (a,...
math [math]2021年京都大学理系数学問題2
問題
曲線\(y=\frac{1}{2}(x^2+1)\)上の点\(P\)における接線は\(x\)軸と交わるとし、その交点を\(Q\)とおく。線分\(PQ\)の長さを\(L\)とするとき、\(L\)が取りうる値の最小値を求めよ。
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