過去問

問題 \(3\)次関数\(h(x) = px^3+qx^2+rx + s\)は次の条件\((i), (ii)\)をみたすものとする。\((i)\) \(h(1) = 1, h(-1) = -1\)\((ii)\) \(-1<x...

問題 \((1)\) 自然数\(n = 1, 2, 3, \cdots\)に対して、ある多項式\(p_n(x), q_n(x)\)が存在して、$$\sin{n\theta} = p_n(\tan{\theta})\cos^n{\th...

問題 \(n\)を自然数とする。\((1)\) すべての実数\(\theta\)に対し$$\cos{n\theta} = f_n(\cos{\theta}), \sin{n\theta} = g_n(\cos{\theta})\si...

問題 \(a, b, c\)は実数で、\(a\geq 0, b\geq 0\)とする。$$p(x) = ax^2+bx+c, q(x) = cx^2 + bx + a$$とおく。\(-1\leq x\leq 1\)を満たすすべての\...

問題 実数または複素数の\(x, y, z, a\)について、\(x+y+z = a, x^3+y^3+z^3 = a^3\)の二式が成立するとき、\(x, y, z\)のうち少なくとも1つは\(a\)に等しいことを示せ。 方...

問題 \(1\)次式\(A(x), B(x), C(x)\)に対して\(\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2 = \{C(x)\}^2\)が成り立つとする。このとき\(A(x)\)は\(B(x)\)とともに\(C(x)\)の定...

問題 \(Q(x)\)を\(2\)次式とする。整式\(P(x)\)は\(Q(x)\)で割り切れないが、\(\{P(x)\}^2\)は\(Q(x)\)で割り切れるという。このとき\(2\)次方程式\(Q(x) = 0\)は重解をもつこ...

問題 \(a, b, c\)を正の数とするとき、不等式$$2\left(\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\right)\leq 3\left(\frac{a+b+c}{3}-\sqrt{abc}\right)$$を証明...

問題 \(x\)が\(0\leq x\leq 3\)という範囲を動くときの、関数\(f(x) = 2x^2-4ax+a+a^2\)の最小値\(m\)が\(0\)になるような、定数\(a\)の値をすべて求めよ。 方針 一般...

問題 自然数\(n = 1, 2, 3, \cdots\)に対して、\((2-\sqrt{3})^n\)という形の数を考える。これらの数はいずれも、それぞれ適当な自然数\(m\)が存在して\(\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\...