過去問

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[math]2021年東京大学理系数学問題4

問題 以下の問いに答えよ。\((1)\) 正の奇数\(K, L\)と正の整数\(A, B\)が\(KA = LB\)を満たしているとする。\(K\)を\(4\)で割った余りが\(L\)を\(4\)で割った余りと等しいならば、\(A\...
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[math]1997年京都大学理系前期数学2

問題 \(n\)が相異なる素数\(p, q\)の積\(n = pq\)であるとき、\(n-1\)個の数\(_n\mathbb{C}_k\ (1\leq k\leq n-1)\)の最大公約数は\(1\)であることを示せ。 方針 ...
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[math]2021年度東京工業大学数学問題1

問題 正の整数に関する条件(*) \(10\)進法で表したときに、どの位にも数字\(9\)が現れないを考える。以下の問いに答えよ。\((1)\) \(k\)を正の整数とするとき、\(10^{k-1}\)以上かつ\(10^k\)未満で...
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[math]2005年京都大学理系後期数学問題6

問題 \(n\)枚の\(100\)円玉と\(n+1\)枚の\(500\)円玉を同時に投げたとき、表の出た\(100\)円玉の枚数より表の出た\(500\)円玉の枚数の方が多い確率を求めよ。 方針 \(1\)枚余分なので、...
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[math]1999年東京大学理系前期数学問題2

問題 複素数\(z_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)\)を\(z_1= 1, z_{n+1}=(3+4i)z_n+1\)によって定める。ただし\(i\)は虚数単位であり、また、複素数\(z = x + yi\)(\(x, ...
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[math]1961年度東京工業大学数学問題6

問題 すべての\(x\)に対して\(|f^{\prime}(x)|<\frac{1}{2}\)となるとき、\((1)\)方程式\(f(x)-x=0\)がただ\(1\)つの実根をもつことを証明せよ。\((2)\)この実根を\(\...
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[math]2006年京都大学理系後期数学問題6

問題 \(\tan{1^\circ}\)は有理数か。 方針 背理法を用いる。 解答 有理数であると仮定して、\(\tan{1^\circ}=\alpha\)と置く。$$\tan{(1+1)^\circ}=\f...
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[math]2020年度京都大学理系問題2

問題 \(p\)を正の整数とする。\(\alpha,\ \beta\)は\(x\)に関する方程式\(x^2-2px-1=0\)の\(2\)つの解で、\(|\alpha| > 1\)であるとする。\((1)\)すべての正の整数\(n\...
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[math]2007年京都大学理系数学乙問題6

問題 すべての実数で定義され何回でも微分できる関数\(f(x)\)が\(f(x) = 0, f^{\prime}(0) = 1\)を満たし、さらに任意の実数\(a, b\)に対して$$1+f(a)f(b)\ne 0$$であって$$f...
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[math]2021年東京大学理系数学問題6

問題 定数\(b, c, p, q, r\)に対し、$$x^4 + bx + c = (x^2+px+q)(x^2-px+r)$$が\(x\)についての恒等式であるとする。\((1)\)\(p \ne 0\)であるとき、\(q, r...
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