過去問

問題 方程式$$(x^3-x)^2(y^3-y) = 86400$$を満たす整数\((x, y)\)をすべて求めよ。 方針 \(86400 = 2^7\cdot 3^3\cdot 5^2\)であるから、左辺を因数分解する...

問題 実数\(\displaystyle \int_{0}^{2023}{\frac{2}{x+e^x}dx}\)の整数部分を求めよ。 方針 まず\(0\leq x\leq 2023\)で\(\displaystyle ...

問題 \(p\)を\(3\)以上の素数とする。また、\(\theta\)を実数とする。\((1)\) \(\cos{3\theta}\)と\(\cos{4\theta}\)を\(\cos{\theta}\)の式として表わせ。\((2...

問題 次の関数\(f(x)\)の最大値と最小値を求めよ。$$f(x) = e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1+\frac{1}{e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1}\ \ \ (-1\leq x\le...

問題 次の各問に答えよ。（\(35\)点）問\(1\ \ \) 定積分\(\displaystyle \int_{1}^{4}{\sqrt{x}\log{(x^2)}dx}\)の値を求めよ。問\(2\ \ \) 整式\(x^{202...

問題 \(a, b\)を正の実数、\(p\)を\(a\)より小さい正の実数とし、すべての実数\(x\)について$$\int_{p}^{f(x)}{\frac{a}{u(a-u)}du} = bx\ \ 0<f(x)<a$...

問題 \((1)\) 正の整数\(k\)に対し、$$A_k = \int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}}{|\sin{(x^2)}|dx}$$とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。$$\frac{1...

問題 実数\(a, b, c\)に対して\(F(x) = x^4+ax^3+bx^2+ax + 1, f(x) = x^2+cx+1\)とおく。また、複素数平面内の単位円周から\(2\)点\(1, -1\)を除いたものを\(T\)と...

問題 \(n\)は正の整数とし、文字\(a, b, c\)を重複を許して\(n\)個並べてできる文字列すべての集合を\(A_n\)とする。\(A_n\)の要素に対し次の条件（＊）を考える。（＊） 文字\(c\)が\(2\)つ以上連続...

問題 \(a\)を\(1\)以上の実数とする。図のような長方形の折り紙\(ABCD\)が机の上に置かれている。ただし\(AD = 1, AB = a\)とする。\(P\)を辺\(AB\)上の点とし、\(AP = x\)とする。頂点\...