問題
\(x\)を複素数とする。\(4\)次複素正則行列$$\begin{equation}
\left(\begin{array}{cccc}
x & 1 & -1 & 1 \\
1 & x & 1 & -1 \\
-1 & 1 & x & 1 \\
1 & -1 & 1 & x
\end{array}\right)
\end{equation}$$の階数を求めよ。
方針
基本変形を繰り返す。
解答
第\(1\)行と第\(4\)行、第\(2\)行と第\(3\)行を交換する。
$$\begin{equation}
\left(\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & x \\
-1 & 1 & x & 1 \\
1 & x & 1 & -1 \\
x & 1 & -1 & 1
\end{array}\right)
\end{equation}$$
第\(2\)行に第 \(1\)行を加え、第 \(3\)行から第 \(1\)行を引き、第 \(4\)行から第 \(1\)行 \(\times x\)を引く。
$$\begin{equation}
\left(\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & x \\
0 & 0 & x+1 & x+1 \\
0 & x+1 & 0 & -1-x \\
0 & 1+x & -1-x & 1-x^2
\end{array}\right)
\end{equation}$$
\((1)\) \(x=-1\)の時、上記の行列は
$$\begin{equation}
\left(\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\end{equation}$$
となり、階数は\(1\)となる。
\((2)\) \(x\ne -1\)の時、\(2, 3, 4\)行目を\(x+1\)で割って、
\begin{equation}
\left(\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & x \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 1-x
\end{array}\right)
\end{equation}
第\(2, 3\)行を入れ替え、
\begin{equation}
\left(\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & x \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1-x
\end{array}\right)
\end{equation}
となる。第\(4\)行から第\(2\)行を引くと、
\begin{equation}
\left(\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & x \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 2-x
\end{array}\right)
\end{equation}
となる。第\(4\)行に第\(3\)行を足すと、
\begin{equation}
\left(\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & x \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 3-x
\end{array}\right)
\end{equation}
となる。以上から、
\(x=-1\)の時階数は\(1\)、\(x = 3\)の時階数は\(3\)、それ以外の時は階数は\(4\)
となる。
解説
与えられた行列の行列式は\((x+1)^3 (x-3)\)となる。したがって、\(x\ne -1, 3\)の時は階数は\(4\)になることは分かる。
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