問題
\(n\)を\(1\)以上の整数とする。
\((1)\) \(n^2+1\)と\(5n^2+9\)の最大公約数\(d_n\)を求めよ。
\((2)\) \((n^2+1)(5n^2+9)\)は整数の二乗にならないことを示せ。
方針
\((1)\) Euclidの互除法を用いる。
\((2)\) \((1)\)を利用する。
解答
\((1)\) $$5n^2+9 = 5(n^2+1) + 4$$ であるから、\(n^2+1\)と\(5n^2+9\)の最大公約数は\(n^2+1\)と\(4\)の最大公約数に等しい。\(n\)が奇数の時、\(n=2k+1\ (k=0, 1, \cdots)\)と置くと、\(n^2+1 = 4k^2+4k+2\)を\(4\)で割った余りは\(2\)だから、\(n^2+1\)と\(4\)の最大公約数は\(2\)になる。\(n\)が偶数の時、\(n=2k\ (k=0, 1,\cdots)\)と置くと、\(n^2+1 = 4k^2+1\)を\(4\)で割った余りは\(1\)だから、\(n^2+1\)と\(4\)の最大公約数は\(1\)になる。
以上から、
- \(n\)が奇数の時、\(d_n = 2\)
- \(n\)が偶数の時、\(d_n = 1\)
である。
\((2)\) \(n\)が奇数の時、\((1)\)から\(d_n=2\)であるから、\(p_n, q_n\)を互いに素な整数として、\(n^2+1 = 2p_n, 5n^2+9 = 2q_n\)と置くことができる。\((n^2+1)(5n^2+9)\)が整数の二乗となる時、\((n^2+1)(5n^2+9) = 4p_nq_n\)であるから、\(p_nq_n\)は整数の二乗となる。\(p_n, q_n\)は互いに素なので、\(p_n, q_n\)は両方とも整数の二乗でなければならない。\(n=2k+1\ (k=0, 1, \cdots)\)とすると、$$p_n = \frac{n^2+1}{2} = 2k^2+2k+1$$ $$q_n = \frac{5n^2+9}{2} = 10k^2+10k+7$$となる。これをみると、\(p_n, q_n\)は両方奇数である。\(q_n-5p_n = 2\)と、式から\(k\)を消去する。変形して\(q_n = 5p_n+2\)である。\(p_n, q_n\)は奇数で、整数の二乗なので、\(4\)で割った余りは\(1\)になる。ところが、\(5p_n+2\)を\(4\)で割った余りは\(3\)となり、矛盾する。
また、\((1)\)から\(n\)が偶数の時、\(n^2+1\)と\(5n^2+9\)は互いに素で、\((n^2+1)(5n^2+9)\)が整数の二乗になる時、\(n^2+1, 5n^2+9\)の両方が整数の二乗でなければならない。ところが、\(n^2 < n^2+1 < (n+1)^2\)だから、\(n^2+1\)が整数の二乗となることはない。
以上の議論から、\((n^2+1)(5n^2+9)\)が整数の二乗となることはない。
解説
\((1)\) Euclidの互除法を用いる。\(a, b\)の最大公約数は\(a = bq + r\)となる時、\((b, r)\)の最大公約数と等しい。具体例などで確認するのが良い。例えば\(408\)と\(119\)の最大公約数を求めてみよう。
$$408 = 119\times 3 + 51$$ $$119 = 51 \times 2 + 17$$ $$51 = 17\times 3$$であるから、\(408\)と\(119\)の最大公約数は\(17\)である。
互除法そのものを証明させる問題はあまり出題されない。証明も慣れていないとなかなか難しく感じる。が、使用法には慣れておいた方が良い。
\((2)\) なかなか難しい。\(n\)が奇数の時が厄介で、解答では奇数の二乗を\(4\)で割った余りが必ず\(1\)になることを用いている。すなわち、\(n = 2k\pm1\)として、\(n^2 = 4k^2\pm4k+1\)となることから、奇数の二乗を\(4\)で割った余りは\(1\)となる。
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