[math]1999年東京工業大学後期数学問題1

問題

極限値limn0π2sin2nx1+xdxを求めよ。

方針

極限を求めることは出来ないので、「相方」を持ち出す。

解答

An=0π2sin2nx1+xdx,Bn=0π2cos2nx1+xdxと置く。すると、An+Bn=0π2sin2nx+cos2nx1+xdx=0π211+xdx=[log(1+x)]0π2=log(1+π2)である。また、BnAn=0π2cos2nxsin2nx1+xdx=0π2cos2nx1+xdx=0π2(sin2nx2n)11+xdx=[sin2nx2n11+x]0π20π2sinnx2n(1(1+x)2)=12n0π2sin2nx(1+x)2dxである。ここで、12n|0π2sinnx(1+x)2dx|12n0π21(1+x)2dx0 (n)だから、limnBnAn=0である。以上より、An=(An+Bn)(BnAn)2と変形して、limn0π2sin2nx1+xdx=12log(1+π2)となる。

解説

積分を実行するのは難しそうだから、他の方法を考えなくてはいけない。こういった問題では、区間の分割というマジックが知られておりそちらで考えても良いが、解答ではペアにあたる積分0π2cos2nx1+xdxを引っ張りだしてきている。An+Bnが簡単に計算出来そうなので計算した後、BnAnが問題となる。こちらも積分は実行出来ないが、部分積分法を用いて計算を進めると0に収束することが示せる。となると、An,Bnの極限は等しく、An+Bnの計算と合わせて答えが求まるという訳である。部分積分法という発想が難しく多くの受験生は手も足も出ずに時間だけが過ぎていってしまったという。

関連問題

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