[math]2022年京都大学理系数学問題6

Table of Contents

問題

数列$\{x_n\}, \{y_n\}$を次の式$$\begin{eqnarray}x_1 = 0, x_{n+1} = x_n+n+2\cos{\left(\frac{2\pi x_n}{3}\right)}\ \ \ (n=1, 2, 3, \cdots)\\ y_{3m+1} = 3m, y_{3m+2} = 3m+2, y_{3m+3} = 3m+4\ \ \ (m = 0, 1, 2, \cdots)\end{eqnarray}$$により定める。このとき、数列$\{x_n-y_n\}$の一般項を求めよ。

方針

$\displaystyle \cos{\left(\frac{2\pi}{3}\right)}$は$n$を$3$で割った余りによるが、$\displaystyle -\frac{1}{2}$か$1$しかとらない。したがって、$x_n$を$3$で割った余りをまず考える。実験すると、$x_n$を$3$で割った余りは$0, 0, 1, 0, 0, 1, \cdots$となることが予想される。

解答

与えられた漸化式から、$$\begin{eqnarray}x_{3m+1} & = & x_{3m} + 3m + 2\cos{\left(\frac{2\pi x_{3m}}{3}\right)}\\ x_{3m+2} & = & x_{3m+1} + 3m+1 + 2\cos{\left(\frac{2\pi x_{3m+1}}{3}\right)}\\ x_{3m+3} & = & x_{3m+2} + 3m + 2 + 2\cos{\left(\frac{2\pi x_{3m+3}}{3}\right)}\end{eqnarray} \tag{a}$$である。数学的帰納法により、$x_n$を$3$で割った余りは$0, 0, 1, 0, 0, 1, \cdots$となることを証明する。$x_1 = 0$であり、$$\begin{eqnarray}x_2 & = & x_1+1+2\cos{\left(\frac{2\pi}{3}\cdot 0\right)}\\ & = & 3\\ x_3 & = & x_2 + 2 + 2\cos{\left(\frac{2\pi}{3}\cdot 3\right)}\\ & = & 7\end{eqnarray}$$であるから、$x_1, x_2, x_3$を$3$で割った余りは$0, 0, 1$である。ある$m$で$x_{3m+1}, x_{3m+2}, x_{3m+3}$を$3$で割った余りが$0, 0, 1$とすると、$$\begin{eqnarray}x_{3m+4} & = & x_{3m+3} + 3m+3 +2\cos{\left(\frac{2\pi x_{3m+3}}{3}\right)}\\ & = & x_{3m+3}-1 + 3m+3\\ & \equiv & 0\\ x_{3m+5} & = & x_{3m+4}+3m+4+2\cos{\left(\frac{2\pi x_{3m+4}}{3}\right)} \\ & = & x_{3m+4} + 3m+6\\ & \equiv & 0 \\ x_{3m+6} & = & x_{3m+5} + 3m+5+2\cos{\left(\frac{2\pi x_{3m+5}}{3}\right)}\\ & = & x_{3m+5} + 3m+7 \\ & \equiv & 1\end{eqnarray}$$となる。以上から、数学的帰納法により$x_n$を$3$で割った余りは$0, 0, 1$を繰り返す。これを使うと、式$(a)$から、$$\begin{eqnarray}x_{3m+1} & = & x_{3m} + 3m -1\\ x_{3m+2} & = & x_{3m+1} + 3m+3\\ x_{3m+3} & = & x_{3m+2} + 3m + 4\end{eqnarray} \tag{b}$$である。変形して、$$\begin{eqnarray}x_{3m+1}-y_{3m+1} & = & x_{3m}-y_{3m}+3m\\ x_{3m+2}-y_{3m+2} & = & x_{3m+1}-y_{3m+1} +3m+1\\ x_{3m+3}-y_{3m+3} & = & x_{3m+2}-y_{3m+2}+3m+2\end{eqnarray} \tag{c}$$である。これから、$x_{n+1}-y_{n+1} = x_n-y_n +n$が成り立つことがわかる。$x_1-y_1 = 0$であるから、数列$\{x_n-y_n\}$は三角数で、$\displaystyle \underline{x_n-y_n = \frac{n(n-1)}{2}}$が成り立つ。

解説

近年の京都大学では三角関数を絡めた剰余の問題も頻出である。簡単に見えるが、試験中のプレッシャーの中、正確に答えを出すのはなかなか難しいのだろう。

解答中の式変形について、例えば$$x_{3m+1} = x_{3m} +3m-1$$から$$x_{3m+1}-y_{3m+1}=x_{3m}-y_{3m}+3m$$に変形するところであるが、$y_{3m} = 3(m-1)+4 = 3m+1$であるから、$$\begin{eqnarray}x_{3m+1}-y_{3m+1} & = & x_{3m+1}-3m \\ & = & x_{3m}+3m-1-3m \\ & = & x_{3m}-(3m+1)+(3m+1)-1 \\ & = & x_{3m}-y_{3m} + 3m\end{eqnarray}$$となる。同様に計算すると、式$(c)$を導くことができる。