[math]2009年東京医科歯科大学前期数学問題2

問題
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問題

正の実数$a, b, c$を係数とする$2$次式$f(x) = ax^2+bx+c$に関して、次の条件$C$を考える。
条件$C:$ $3$で割り切れないすべての整数$x$について、$f(x)$が整数になる。
このとき、以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $f(x)$が条件$C$を満たすとき、$g(x)=f(x+3)-f(x)$は係数および定数項が整数となる$1$次式であることを示せ。
$(2)$ 条件$C$を満たす$f(x)$のうち、$f(x)=1$となるものを求めよ。
$(3)$ 以下の条件$C^{\prime}$が条件$C$と同値になるような自然数の組$(m_1, m_2, m_3)$のうち、$m_1+m_2+m_3$が最小となるものを求めよ。
条件$C^{\prime}:$ $m_1b, m_2a+m_3b, a+b+c$がいずれも整数となる。
$(4)$ $n$を自然数とする。条件$C$を満たす$f(x)$のうち、$f(1)=n$となるものの個数を$n$を用いて表わせ。

方針

次の条件が同値であることに注意する。$$\begin{cases}a\in \mathbb{Z} \\ b\in \mathbb{Z}\end{cases}\iff \begin{cases}a\in \mathbb{Z}\\ a\pm b\in \mathbb{Z}\end{cases}$$

解答

$(1)$ 条件$C$が成り立つとき、$f(1), f(2), f(-1)$は整数である。$$\begin{cases}f(1)=a+b+c\in \mathbb{Z}\\ f(2)=4a+2b+c\in \mathbb{Z}\end{cases}\iff \begin{cases}f(1)=a+b+c\in \mathbb{Z}\\ f(2)-f(1)=3a+b\in \mathbb{Z}\end{cases}$$であるから、$3a+b$は整数になる。また、$$\begin{cases}f(-1)=a-b+c\in \mathbb{Z}\\ f(1)=a+b+c\in \mathbb{Z}\end{cases}\iff \begin{cases}f(-1)~a-b+c\in\mathbb{Z}\\ f(-1)+f(1)=2b\in \mathbb{Z}\end{cases}$$であるから、$2b$は整数である。すると、$2(3a+b) = 6a+2b$は整数、$2b$も整数だから、$6a$も整数である。したがって、$$\begin{eqnarray}g(x) & = & f(x+3)-f(x)\\ & = & a(x+3)^2+b(x+3)+c-ax^2-bx-c\\ & = & 6ax+3(3a+b)\end{eqnarray}$$は係数が整数である。$a\ne 0$だから$1$次式でもある。

$(2)$ $f(1)=a+b+c=1$である。両辺に$2$を掛けて、$$2a+2b+2c=2$$であるが、$(1)$より$2b$は整数であり、$a, b, c$は正であるから、$2b=1$である。よって、$\displaystyle b = \frac{1}{2}$である。すると、$\displaystyle a+c=\frac{1}{2}$であるが、両辺に$6$を掛けて、$$6a+6c = 3$$である。$6a$は整数であり、$a, c$は正であるから、$(6a, 6c) = (1, 2), (2, 1)$である。よって、$\displaystyle (a, c) = \left(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}\right), \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right)$である。以上より、$\displaystyle f(x) = \frac{1}{6}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}, \frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}$であるが、このうち$f(2)$も整数になるのは$\displaystyle \underline{f(x)=\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}}$である。なお、$f(1), f(2)$が整数であり、$g(x)=f(x+3)-f(x)$は係数が整数であるから、上の$f(x)$について条件$C$は満たされている。

$(3)$ 条件$C$は次と同値である。$$\begin{cases}f(1)=a+b+c\in \mathbb{Z}\\ f(2) = 4a+2b+c\in \mathbb{Z}\\ g(x) = f(x+3)-f(x)\in \mathbb{Z}\ (x\equiv \pm1 \pmod{3})\end{cases}\iff \begin{cases}a+b+c\in \mathbb{Z}\\ f(2)-f(1) = 3a+b\in \mathbb{Z}\\ 6ax+3(3a+b)\in \mathbb{Z}\ (x\equiv \pm1 \pmod{3})\end{cases}$$$3(3a+b)$は整数であるから、$3$で割り切れないすべての整数$x$に対して、$6ax$が整数となるとき、$6a$は整数である。$$6a = 2(3a+b)-2b$$であり、$3a+b$は整数であるから、$2b$が整数である。以上より、$\underline{(m_1, m_2, m_3) = (2, 3, 1)}$である。

$(4)$ $(3)$から$2b, 3a+b, a+b+c$は整数である。$l, m$を整数として、$$\begin{cases}2b = l\\ 3a+b = m\\ a+b+c = n\end{cases}$$とする。これを$a, b, c$について解くと、$$\begin{cases}\displaystyle a = \frac{2m-l}{6}\\ \displaystyle b = \frac{l}{2}\\ \displaystyle c = \frac{3n-l-m}{3}\end{cases}$$となる。$a > 0, b > 0, c > 0$となるような$l, m$の個数を求めればよい。$a > 0, b > 0, c > 0$は$$\begin{cases}0 < l < 2m\\ l+m < 3n\end{cases}$$である。$m$を固定して考える。
$(a)$ $2m < 3n-m$つまり$m < n$であるとき、$0 < l < 2m < 3n-m$であるから、$l=1, 2, \cdots, 2m-1$である。$m=1, 2, \cdots, n-1$として、$$\begin{eqnarray} & = & \sum_{m=1}^{n-1}{(2m-1)}\\ & = & (n-1)^2\end{eqnarray}$$である。
$(b)$ $3n-m < 2m$つまり$m > n$であるとき、$0 < l<3n-m<2m$であるから、$l=1, 2, \cdots, 3n-m$である。$m=n+1, n+2m, \cdots, 3n-1$として、$$\begin{eqnarray} & = & \sum_{m=n+1}^{3n-1}{(3n-m)}\\ & = & \sum_{m^{\prime}=1}^{2n-1}{(2n-m^{\prime})}\\ & = & \sum_{m^{\prime\prime}=1}^{2n-1}{m^{\prime\prime}}\\ & = & 2n^2-n\end{eqnarray}$$である。途中で$m-n = m^{\prime}$および$2n-m^{\prime} = m^{\prime\prime}$と置換した。

以上から、求める$f(x)$の個数は$(n-1)^2+2n^2-n = \underline{3n^2-3n+1}$となる。

解説

過去の医科歯科大学の出題の中でもトップクラスの難問である。特に$(3)$が難しい。条件$C$の意味が飲み込めず、手も足も出なかった受験生も多かったことだろう。なお、解答中の$\mathbb{Z}$は整数の集合を表す記号である。$a\in \mathbb{Z}$と書いたとき、$a$は整数であることを表す。

$(1)$ $2$つの数$a, b$が整数であるとき、$a, a-b$は整数である。逆に$a, a-b$が整数であるとき、$b = -(a-b) +a$は整数である。なので、$a, b$が整数$\iff$$a, a-b$が整数であるが成り立つ。条件$C$の意味は取りにくいが、とりあえず$f(1), f(2)$を考える。もしも$g(x) = f(x+3)-f(x)$が整数であるならば、$x = 1$を代入して、$f(4) =g(1)+f(1)$となり、$g(1), f(1)$はともに整数なので、$f(4)$は整数になる。同じように、$f(7), f(10), \cdots$もすべて整数になる。また、$f(2)$は整数なので、$f(5) = g(2)+f(2)$から$f(5)$も整数になる。同じく、$f(8), f(11), \cdots$もすべて整数になる。すなわち、条件$C$と$f(1), f(2), g(x) = f(x+3)-f(x)$整数であることは同値である。$(1)$では単に$g(x)$が$3$の倍数でない整数$x$に対して整数であることを言うだけでなく、係数についても整数であることを示せと言っている。そのために、$f(1), f(2), f(-1)$を持ち出す。

$(2)$ $2b$が整数であることに気が付かないと時間がかかる。$(a, c)$の組は$2$つ出てくるが、解答では条件である$f(1)$が整数であることと、$g(x)$の係数が整数であることしか使っていない。残りの条件$f(2)$が整数であることは使っていないので、最後に確認する必要がある。

$(3)$ $(1), (2)$の流れの上にあるから、これがうまく解けなかった受験生には酷な問題である。同値変形について習熟したものでないと、すっきりとした解答を書くことが難しい。

$(4)$ 最後も簡単ではない。整式の問題だと思っていたのが、最後には場合の数の問題になってしまった。解答のように場合分けをしても良いし、$lm$平面を描いて図を見ながら解くのも良い。解答では$$1+3+5+\cdots + 2n-1 = n^2$$という三角数の公式を用いている。証明は帰納法によるが、このような重厚な問題ではスキップしても良いだろう。下のリンクも参照すると良い。