[math][東京工業大学]2024年東京工業大学数学問題5

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2024.03.03

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問題

整数の組$(a, b)$に対して$2$次式$f(x) = x^2+ax+b$を考える。方程式$f(x) = 0$の複素数の範囲のすべての解$\alpha$に対して${\alpha}^n = 1$となる正の整数$n$が存在するような組$(a, b)$をすべて求めよ。

方針

どこかで見たことのあるような問題である。

解答

$f(x) = 0$の解が実数のとき、${\alpha}^n = 1$から$\alpha = 1$あるいは$\alpha = -1$である。したがって、$f(x) = (x+1)^2, (x-1)^2, (x+1)(x-1)$しかありえない。このとき順に$(a, b) = (2, 1), (-2, 1), (0, -1)$である。

$f(x) = 0$の解が複素数のとき、$\alpha = p+qi$とする。すると、$\bar{\alpha} = p-qi$も$f(x) = 0$の解である。解と係数の関係から、$$\begin{cases} 2p & = & -a \\ p^2+q^2 & = & b\end{cases}$$である。${\alpha}^n = 1$から、$|\alpha|^2 = p^2+q^2 = 1$が必要である。これから、$b = 1$となる。$\displaystyle \frac{a^2}{4} + q^2 = 1$より、$\displaystyle \frac{a^2}{4} <1$が必要で、$a$は整数だから$a = 0, \pm 1$しかありえない。$a = 0$のとき、$f(x) = x^2+1$で$f(x) = 0$の解は$x = \pm i$である。$(\pm 1)^{4} = 1$となり条件を満たす。$a = 1$のとき、$f(x) = x^2+x+1$で$f(x) = 0$の解は$\displaystyle x = \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$である。$\displaystyle \left(\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\right)^3 = 1$となり条件を満たす。$a = -1$のとき、$f(x) = x^2-x+1$で$f(x) = 0$の解は$\displaystyle x = \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$である。$\displaystyle \left(\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}\right)^6 = 1$となり条件を満たす。

以上から、$\underline{(a, b) = (2, 1), (-2, 1), (0, -1), (0, 1), (1, 1), (-1, 1)}$が求める答えとなる。