[math]2022京都大学文理共通数学問題1

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2022.03.012022.02.28

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問題

$5.4<\log_{4}{2022} < 5.5$であることを示せ。ただし、$0.301<\log_{10}{2}<0.3011$であることは用いてもよい。

方針

近年の京都大学の問題では誘導なしで対数の値の評価を求めさせる問題がよく出題されている。十分受験生の実力を測ることができるということなのだろう。わかりやすい$10^n$や$2^n$で評価することを目標にする。

解答

$$\begin{eqnarray}\log_{4}{2022} & = & \frac{\log_{10}{2022}}{\log_{10}{4}}\\ & = & \frac{\log_{10}{2}+\log_{10}{1011}}{2\log_{10}{2}} \\ & = & 0.5 + \frac{\log_{10}{1011}}{2\log_{10}{2}} \tag{a}\end{eqnarray}$$である。$$10^3 = 1000 < 1011 < 2^{10} = 1024$$だから、$$3 < \log_{10}{1011}< 10\log_{10}{2}$$である。これから、$$\frac{1.5}{\log_{10}{2}}<\frac{\log_{10}{1011}}{2\log_{10}{2}}< 5$$となる。$(a)$から$$0.5 + \frac{1.5}{\log_{10}{2}} < \log_{4}{2022} < 0.5 +5 = 5.5 $$となる。$\log_{10}{2}<0.3011$だから、$$\begin{eqnarray}0.5 + \frac{1.5}{\log_{10}{2}} & > & 0.5 + \frac{1.5}{0.3011}\\ & > & 0.5 + 4.980\\ & = & 5.48\\ & > & 5.4 \end{eqnarray}$$となる。以上から、$\displaystyle 5.4 < \log_{4}{2022} < 5.5$が成り立つ。

解説

対数の問題では、$\displaystyle \log_{a}{b} = \frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}$は忘れてはいけない。これを証明しておく。$\log_{a}{b} = c$のとき、$a^c = b$である。つまり、$$a^{\log_{a}{b}} = b$$である。$c$を底にする両辺の対数を考えると、$$\log_{a}{b}\log_{c}{a} = \log_{c}{b}$$である。変形すると、$$\log_{a}{b} = \frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}$$を得る。対数の値を考えるときは、解答のように$10^n$や$2^n$など、扱いやすい数字で評価を行うと良い。易しい問題ではあるが、基礎がしっかりとしていないものには難しく感じるだろう。