[math]2005年東京医科歯科大学前期数学問題3

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問題

次の条件$(i), (ii), (iii)$を満たす関数$f(x)\ (x > 0)$を考える。
$(i)$ $f(1) = 0$
$(ii)$ 導関数$f^{\prime}(x)$が存在し、$f^{\prime}(x) > 0\ (x > 0)$。
$(iii)$ 第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$が存在し、$f^{\prime\prime}(x) < 0\ (x > 0)$。
このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $\displaystyle a\geq \frac{3}{2}$のとき次の$3$数の大小を比較せよ。$$f(a), \frac{1}{2}\left(f\left(a-\frac{1}{2}\right)+f\left(a+\frac{1}{2}\right)\right), \int_{a-\frac{1}{2}}^{a+\frac{1}{2}}{f(x)dx}$$
$(2)$ 整数$n \ (n\geq 2)$に対して次の不等式が成立することを示せ。$$\int_{\frac{3}{2}}^{n}{f(x)dx} < \sum_{k=1}^{n-1}{f(k)} + \frac{1}{2}f(n) < \int_{1}^{n}{f(x)dx}$$
$(3)$ 次の極限値を求めよ。ただし$\log$は自然対数を表す。$$\lim_{n\to\infty}{\frac{n + \log{n!}-\log{n^n}}{\log{n}}}$$

方針

$(1)$は関数の凸性を利用する。点$(a, f(a))$における$y = f(x)$の接線を考えてみると良い。

解答

$(1)$ 条件$(i), (ii), (iii)$から$y = f(x)$の概形は下のようになる。

$y = f(x)$の概形。$f^{\prime\prime}(x) < 0$より$y = f(x)$は上に凸となる。

図で台形$ABCD$の面積は$\displaystyle \frac{1}{2}\left(f\left(a-\frac{1}{2}\right)+f\left(a+\frac{1}{2}\right)\right)$となる。また、台形$EFCD$の面積は$ED$の長さが接線の方程式$y = f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$に$\displaystyle x = a-\frac{1}{2}$を代入して、$\displaystyle -\frac{f^{\prime}(a)}{2}+f(a)$であり、$FC$の長さが$\displaystyle x = a+\frac{1}{2}$を代入して$\displaystyle \frac{f^{\prime}(a)}{2}+f(a)$となるから、$$\left(\left(a+\frac{1}{2}\right)-\left(a-\frac{1}{2}\right)\right)\times \left(\left(-\frac{f^{\prime}(a)}{2}+f(a)\right)+\left(\frac{f^{\prime}(a)}{2}+f(a)\right)\right)\times \frac{1}{2} = f(a)$$となる。したがって、図を見ながら$$\underline{\frac{1}{2}\left(f\left(a-\frac{1}{2}\right)+f\left(a+\frac{1}{2}\right)\right) < \int_{a-\frac{1}{2}}^{a+\frac{1}{2}}{f(x)dx} < f(a)}$$が成り立つ。

$(2)$ $(1)$の不等式の左側で$\displaystyle a = \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \cdots, \frac{2n-1}{2}$としたものを辺ごとに足すと、$$\frac{f(1)+f(2)}{2} + \frac{f(2)+f(3)}{2} + \cdots + \frac{f(n-1)+f(n)}{2} < \int_{1}^{n}{f(x)dx}$$である。$f(1) = 0$であるから、これから$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}{f(k)}+\frac{1}{2}f(n) < \int_{1}^{n}{f(x)dx}$が成り立つ。また、$(1)$の不等式の右側で$a = 2, 3, \cdots, n$としたものを辺ごとに足すと、$$\int_{\frac{3}{2}}^{n + \frac{1}{2}}{f(x)dx} < f(2) + f(3) + \cdots + f(n)$$であるが、$f(1) = 0$であるから$$\int_{\frac{3}{2}}^{n}{f(x)dx} + \int_{n}^{n+\frac{1}{2}}{f(x)dx} < \sum_{k=1}^{n-1}{f(k)} + f(n)$$である。積分の平均値の定理から$\displaystyle \int_{n}^{n+\frac{1}{2}}{f(x)dx} = \frac{1}{2}f(c)$となる$c$が区間$\displaystyle \left[n, n+\frac{1}{2}\right]$に存在するが、$f(x)$は増加関数なので、$\displaystyle \frac{1}{2}f(n)\leq \frac{1}{2}f(c)$である。したがって、$\displaystyle \int_{\frac{3}{2}}^{n}{f(x)dx}+\frac{1}{2}f(n) < \sum_{k=1}^{n-1}{f(k)} + f(n)$であるから、題意の不等式の左側も成り立つ。

$(3)$ $f(x) = \log{x}\ (x > 0)$とすると、$\displaystyle f(1) = 0, f^{\prime}(x) = \frac{1}{x} > 0, f^{\prime\prime}(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$となるから、これは条件$(i), (ii), (iii)$を満たす。$(2)$の不等式で$f(x) =\log{x}$として、$$\int_{\frac{3}{2}}^{n}{\log{x}dx} < \log{(n-1)!} + \frac{1}{2}\log{n} < \int_{1}^{n}{\log{x}dx}$$となる。$\displaystyle \int{\log{x}dx} = x(\log{x}-1) + C$を利用して積分を計算すると、$$n(\log{n}-1)-\frac{3}{2}\left(\log{\frac{3}{2}}-1\right) < n+\log{n!}-\log{n^n} < \frac{1}{2}\log{n} + 1$$を得る。両辺を$\log{n}\ ( > 0)$で割ってから$n\to\infty$とすることで、求める極限が$\displaystyle \underline{\frac{1}{2}}$であることがわかる。

解説

こちらの問題によく似てはいるが、本問題の方が難しい。

$(1)$から躓いたものも多かったことだろう。面積に帰着させるというのはわかるが、$\displaystyle \int_{a-\frac{1}{2}}^{a+\frac{1}{2}}{f(x)dx}$と$f(a)$の大小を比べるのが難しい。接線を持ち出すことに気がつくかどうかが勝負の分かれ目になる。なお、同様に接線を持ち出すことで解決する問題が、東京大学で2年後に出題されている。