[math]2022年東京大学理系数学問題6

問題
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問題

$O$を原点とする座標平面上で考える。$0$以上の整数$k$に対して、ベクトル$\overrightarrow{v_k}$を$$\overrightarrow{v_k} = \left(\cos{\frac{2k\pi}{3}}, \sin{\frac{2k\pi}{3}}\right)$$と定める。投げたとき表と裏がどちらも$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で出るコインを$N$回投げて、座標平面上に点$X_0, X_1, X_2, \cdots, X_N$を以下の規則$(i), (ii)$に従って定める。
$\ \ \ \ (i)$$X_0$は$O$にある。
$\ \ \ \ (ii)$ $n$を$1$以上$N$以下の整数とする。$X_{n-1}$が定まったとし、$X_n$を以下のように定める。
$\ \ \ \ \ \ \ \ \cdot$ $n$回目のコイン投げで表が出た場合、$$\overrightarrow{OX_n} = \overrightarrow{OX_{n-1}} + \overrightarrow{v_k}$$により$X_n$を定める。ただし、$k$は$1$回目から$n$回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。
$\ \ \ \\ \ \ \ \cdot$ $n$回目のコイン投げで裏が出た場合、$X_n$を$X_{n-1}$と定める。
$(1)$ $N = 8$とする。$X_8$が$O$にある確率を求めよ。
$(2)$ $N = 200$とする。$X_{200}$が$O$にあり、かつ、合計$200$回のコイン投げで表がちょうど$r$回出る確率を$p_r$とおく。ただし$0\leq r\leq 200$である。$p_r$を求めよ。また$p_r$が最大となる$r$の値を求めよ。

方針

動く方向は$3$方向しかないが、裏の出た回数で方向が変わる。裏の出る場所を固定し、どこで表が出るかを考えると先が見える。動く方向は裏の回数のみに依存し、表がどこで出たかは無関係である。

解答

表が出ることを$\bigcirc$、裏が出ることを$\times$と表す。例えば、$N = 3$で表表裏と出たことを$\bigcirc\bigcirc\times$などとする。また、$\displaystyle \overrightarrow{a} = (1, 0), \overrightarrow{b} = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{c} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$とする。$N$回目の施行が終了し、$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$の出た回数を順に$p, q, r$とする。$X_n$の位置は$$p\overrightarrow{a} + q\overrightarrow{b} + r\overrightarrow{c}$$と表すことができ、これが原点$O$にあるとき、$$\begin{cases}\displaystyle p-\frac{q}{2}-\frac{r}{2} = 0 \\ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}(q-r) = 0\end{cases}$$となる。つまり、$p = q = r$が必要である。逆に、$p = q = r$でないとき、$X_n$は原点$O$にはない。

$(1)$ 上の議論から、表の出る回数は$0, 3, 6$のいずれかである。
$\ \ \ (i)$ 表の出る回数が$0$回のとき、コインは全部裏で、$$\times\times\times\times\times\times\times\times$$となる。これは$1$通りである。
$\ \ \ (ii)$ 表の出る回数が$3$回のとき、裏のコインは$5$枚で、これをまず最初に並べる。$$\times\times\times\times\times$$$\overrightarrow{a}$が入るのは、$$\uparrow \times \times \times \uparrow\times \times$$の上矢印のある$2$箇所のどちらかで、$\overrightarrow{b}$が入るのは、$$\times \uparrow \times \times \times \uparrow \times$$の上矢印のある$2$箇所のうちのどちらかで、$\overrightarrow{c}$が入るのは、$$\times \times \uparrow \times \times \times \uparrow$$の上矢印のある$2$箇所のうちのどちらかである。したがって、$2^3 = 8$通りである。
$\ \ \ (iii)$ 表の出る回数が$6$回のとき、裏のコインは$2$枚で、これをまず最初に並べる。$$\times \times$$$\overrightarrow{a}$の入る場所は$$\uparrow \times \times$$の上矢印のある$1$箇所のみ、$\overrightarrow{b}$の入る場所は$$\times \uparrow \times$$の上矢印のある$1$箇所のみ、$\overrightarrow{c}$の入る場所は$$\times \times \uparrow$$の上矢印のある$1$箇所のみで、これは$1$通りである。

以上から、$N = 8$のとき$X_N$が原点にある確率は$\displaystyle \frac{1+8+1}{2^8} = \underline{\frac{5}{128}}$となる。

$(2)$ $(1)$と同様に考える。$r \equiv \pm 1 \pmod{3}$のとき、$p_r = 0$である。$r \equiv 0 \pmod{3}$のとき、裏のコインは$200-r$枚で、これをまず最初に並べる。$$\times \times \cdots \times (200-r枚)$$$\overrightarrow{a}$の入る場所は、$$\uparrow \times \times \times \uparrow \times \times \times \uparrow \cdots \uparrow \times \times \times \uparrow \times \times$$の上矢印のある箇所である。これは、$\displaystyle \frac{200-r}{3} = 66-\frac{r}{3} + \frac{2}{3}$箇所であるから、$\displaystyle 66-\frac{r}{3}+1 = 67-\frac{r}{3}$箇所あり、ここから重複を許して$\displaystyle \frac{r}{3}$箇所の$\overrightarrow{a}$の入る場所を選ぶから、選び方は$\displaystyle \begin{pmatrix}67-\frac{r}{3} + \frac{r}{3}-1 \\ \frac{r}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}66 \\ \frac{r}{3}\end{pmatrix}$である。$\overrightarrow{b}$の入る場所は、$$\times \uparrow \times \times \times \uparrow \times \times \times \uparrow \cdots \times \times \times \uparrow \times $$の上矢印のある箇所である。これも$\displaystyle 67-\frac{r}{3}$箇所あり、ここから重複を許して$\displaystyle \frac{r}{3}$箇所の$\overrightarrow{b}$の入る場所を選ぶから、選び方は$\displaystyle \begin{pmatrix}66 \\ \frac{r}{3}\end{pmatrix}$である。$\overrightarrow{c}$の入る場所は、$$\times \times \uparrow \times \times \times \uparrow \times \times \times \uparrow \cdots \times \times \times \uparrow$$の上矢印のある箇所である。これも$\displaystyle 67-\frac{r}{3}$箇所あり、ここから重複を許して$\displaystyle \frac{r}{3}$箇所の$\overrightarrow{c}$の入る場所を選ぶから、選び方は$\displaystyle \begin{pmatrix}66 \\ \frac{r}{3}\end{pmatrix}$である。以上から、$r \equiv 0 \pmod{3}$のとき、$\displaystyle p_r = \frac{{_{66}{\mathbb{C}}_{\frac{r}{3}}}^3}{2^{200}}$となる。答えは、$$\underline{p_r = \begin{cases}\displaystyle \frac{_{66}{\mathbb{C}}_{\frac{r}{3}}^3}{2^{200}} \ \ (r \equiv 0 \pmod{3})\\ \\ 0\ \ (r \equiv \pm1 \pmod{3})\end{cases}}$$となる。

$p_r$の最大値を求めるため、$r = 3k$とおく。ただし、$k = 0, 1, \cdots, 66$である。$\displaystyle \begin{pmatrix}66 \\ k\end{pmatrix}$の最大値を求めれば良い。$$\begin{eqnarray}\frac{_{66}{\mathbb{C}}_{k+1}}{_{66}{\mathbb{C}}_{k}} & = & \frac{66!}{(66-k-1)!(k+1)!}\cdot \frac{(66-k)!k!}{66!}\\ & = & \frac{66-k}{k+1}\end{eqnarray}$$である。$\displaystyle \frac{66-k}{k+1} = \frac{67-(k+1)}{k+1} = \frac{67}{k+1}-1$は$k$についての減少関数で、$k = 0$のときに$66$、$k = 66$のときに$0$となり、$k = 32$のときに$\displaystyle \frac{34}{33} > 1$、$k = 33$のときに$\displaystyle \frac{33}{34} < 1$となるから、$$\begin{pmatrix}66 \\ 0\end{pmatrix} < \begin{pmatrix}66 \\ 1\end{pmatrix} < \begin{pmatrix}66 \\ 0\end{pmatrix} < \cdots < \begin{pmatrix}66 \\ 33\end{pmatrix} > \begin{pmatrix}66 \\ 34\end{pmatrix} > \cdots > \begin{pmatrix}66 \\ 66\end{pmatrix}$$となる。よって、$p_r$を最大にする$r$は$\underline{r = 3\times33 = 99}$となる。

解説

裏が出ると方向が変わるいうところが嫌らしいが、表は他の表がどこで出るかに関係なく、裏の出た枚数で方向が決まることに気がつくと、一気に楽になる。すなわち、解答の$\overrightarrow{a}$は、他の$\overrightarrow{b}$や$\overrightarrow{c}$がどこで出るかに影響されず、裏のコインとの位置関係だけで決まるということである。

$p_r$が最大になる$r$は、パスカルの三角形を考えると、$k = 33$になることはすぐに分かる。解答のように比をとって$1$との大小で考えるのが良いだろう。