[math]2013年東京医科歯科大学前期数学問題1

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問題

$(1)$ 実数$\alpha, \beta$が$\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, 0 < \beta < \frac{\pi}{2}, \tan{\alpha}\tan{\beta} = 1$を満たすとき、$\alpha+\beta$の値を求めよ。
$(2)$ 実数$\alpha, \beta, \gamma$が$\displaystyle 0 < \alpha<\frac{\pi}{2}, 0<\beta < \frac{\pi}{2}, 0<\gamma<\frac{\pi}{2}, \alpha+\beta+\gamma = \frac{\pi}{2}$を満たすとき、$$\tan{\alpha}\tan{\beta} + \tan{\beta}\tan{\gamma} + \tan{\gamma}\tan{\alpha}$$の値は一定であることを示せ。
$(3)$ 実数$\alpha, \beta, \gamma$が$\displaystyle 0 < \alpha<\frac{\pi}{2}, 0<\beta < \frac{\pi}{2}, 0<\gamma<\frac{\pi}{2}, \alpha+\beta+\gamma = \frac{\pi}{2}$を満たすとき、$$\tan{\alpha}+\tan{\beta} + \tan{\gamma}$$のとりうる値の範囲を求めよ。

方針

$(1)$ $\tan$の加法定理を用いるまでもない。

$(2)$ 一文字消去する。

$(3)$ 誘導に従ってもよいが、$\tan$の凸性を用いても良い。

解答

$(1)$ $\displaystyle \tan{\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)} = \frac{1}{\tan{\alpha}}$であるから、$\displaystyle \tan{\alpha} = \frac{1}{\tan{\beta}}, 0<\alpha<\frac{\pi}{2}, 0 < \beta < \frac{\pi}{2}$のとき、$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha = \beta$となる。よって、$\displaystyle \underline{\alpha+\beta= \frac{\pi}{2}}$である。

$(2)$ $\displaystyle \alpha+\beta+\gamma = \frac{\pi}{2}$のとき、$$\begin{eqnarray}(\tan{\beta}+\tan{\alpha})\tan{\gamma} & = & (\tan{\alpha}+\tan{\beta})\tan{\left(\frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)\right)}\\ & = & \frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{\tan{(\alpha+\beta)}} \\ & = & 1-\tan{\alpha}\tan{\beta}\end{eqnarray}$$であるから、$\underline{\tan{\alpha}\tan{\beta}+\tan{\beta}\tan{\gamma}+\tan{\gamma}\tan{\alpha} = 1}$となり、一定である。

$(3)$ $\displaystyle f(x) = \tan{x}\ \ \left(0<x < \frac{\pi}{2}\right)$とする。$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(x) & = & \frac{1}{\cos^2{x}}\\ f^{\prime\prime}(x) & = & \frac{-2\cos{x}(-\sin{x})}{\cos^4{x}}\\ & = & \frac{2\sin{x}}{\cos^3{x}} > 0\end{eqnarray}$$であり、$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において$f(x)$は下に凸である。したがって、点$A(\alpha, f(\alpha)), B(\beta, f(\beta)), C(\gamma, f(\gamma))$としたとき、三角形$ABC$の重心は$y = f(x)$の上にある。

$\tan{x}$は下に凸なので、上図で三角形$ABC$の重心は$y = \tan{x}$よりも上にある。

なので、$$\begin{eqnarray}f\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right) & \leq & \frac{f(\alpha)+f(\beta)+f(\gamma)}{3}\\ \iff \tan{\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)} & \leq & \frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}+\tan{\gamma}}{3}\\ \iff \tan{\frac{\pi}{6}} & \leq & \frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}+\tan{\gamma}}{3}\end{eqnarray}$$となる。$\displaystyle \tan{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$であるから、$\underline{\tan{\alpha}+\tan{\beta}+\tan{\gamma}\geq \sqrt{3}}$となる。

$(3)$（別解）$\tan{\alpha}+\tan{\beta}+\tan{\gamma} = x$と置く。コーシー・シュワルツの不等式から、$$(\tan{\alpha}+\tan{\beta}+\tan{\gamma})^2 \leq (1^2+1^2+1^2)(\tan^2{\alpha}+\tan^2{\beta}+\tan^2{\gamma})$$だから$$x^2\leq 3(\tan^2{\alpha}+\tan^2{\beta}+\tan^2{\gamma}) \tag{a}\label{a}$$である。また、$(2)$から$$\begin{eqnarray}(\tan{\alpha}+\tan{\beta}+\tan{\gamma})^2 & = & \tan^2{\alpha}+\tan^2{\beta}+\tan^2{\gamma} +2(\tan{\alpha}\tan{\beta}+\tan{\beta}\tan{\gamma}+\tan{\gamma}\tan{\alpha})\\ & = & \tan^2{\alpha}+\tan^2{\beta}+\tan^2{\gamma} + 2\end{eqnarray}$$だから、$$\tan^2{\alpha}+\tan^2{\beta}+\tan^2{\gamma} = x^2-2 \tag{b}\label{b}$$である。\eqref{a}, \eqref{b}から、$$x^2\leq 3(x^2-2)$$である。よって、$x\geq \sqrt{3}$となる（以下略）。