[math]2013年東京医科歯科大学前期数学問題2

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問題

$2$次正方行列$\displaystyle \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$のうち、次の$3$条件$(i), (ii), (iii)$を満たすもの全体の集合を$M$とする。
$(i)$$a, b, c, d$はすべて整数
$(ii)$ $b + c = 0$
$(iii)$ $a-b-d = 0$
また$E$を$2$次単位行列とする。このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ 行列$A, B$がともに$M$の要素であるとき、それらの積$AB$も$M$の要素であることを示せ。
$(2)$ 行列$\displaystyle A = \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$とその逆行列$A^{-1}$がともに$M$の要素であるとき、$ad-bc = 1$が成立することを示せ。
$(3)$ 行列$A$とその逆行列$A^{-1}$がともに$M$の要素であるような$A$をすべて求めよ。
$(4)$ 自然数$n$について、$M$の要素であって$A^{n} = E$を満たすような行列$A$の全体の集合を$S_n$とする。$S_n$の要素の個数がちょうど$3$となる$n$をすべて求めよ。

方針

$(1)$ 定義に従い計算する。

$(2)$ 計算すると$ad-bc = a^2-ab+b^2$となる。これからどのような議論ができるか考える。

$(3)$ $(2)$の条件を用いて、$a, b$の値を計算する。

$(4)$ 少し考えると$(3)$が使える。$a^2-ab+b^2 = 0$のときは別に考える必要がある。

解答

$(1)$ 条件$(i), (ii)$から$c = -b, d = a-b$であるから、$M$に属する集合は$\displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\ -b & a-b\end{pmatrix}$と表される。これから、$M$に属する集合$A, B$に対して、$$\begin{eqnarray}AB & = & \begin{pmatrix}a & b \\ -b &a-b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p & q \\ -q & p-q\end{pmatrix}\\ & = & \begin{pmatrix}ap-bp & aq-b(p-q)\\ -(aq-b(p-q)) & ap-bp-(aq-b(p-q))\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$となり、確かにこれは$M$に属する。

$(2)$ $(1)$から$M$に属する集合$A$の逆行列は$\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{a^2-ab+b^2}\begin{pmatrix}a-b & -b\\ b & a\end{pmatrix}$となる。ただし、$a^2-ab+b^2\ne 0$である。$A^{-1}$が$M$に属するとき、定義から$\displaystyle \frac{a}{a^2-ab+b^2}, \frac{b}{a^2-ab+b^2}$は整数になる。$\displaystyle a^2-ab+b^2 = \left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2 \geq 0$であり、等号は成立しないから、$a^2-ab+b^2$は正である。$\displaystyle x = \frac{a}{a^2-ab+b^2}, y = \frac{b}{a^2-ab+b^2}$と置くと、$x, y$は整数で、$$\begin{eqnarray}x^2-xy+y^2 & = & \frac{a^2-ab+b^2}{(a^2-ab+b^2)^2}\\ & = & \frac{1}{a^2-ab+b^2}\end{eqnarray}$$とある。$x^2-xy+y^2$は整数であり、$a^2-ab+b^2 > 0$だから、$a^2-ab+b^2= 1$となるしかない。

$(3)$ $(2)$ から$a^2-ab+b^2 = 1$となる。これを$a$についての二次方程式とみると、$$a^2-ba + b^2-1 = 0 \tag{b}\label{b}$$である。\eqref{b}が実数解をもつには、$D = b^2-4(b^2-1) > 0$が必要で、これから$3b^2 < 4$である。これを満たすのは$b = 0, \pm1$である。
$(i)$ $b = 0$のとき、$a^2-ab+b^2 = a^2 = 1$だから$a = \pm 1$となる。このとき$\displaystyle A = \pm\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$となる。これは両方とも$M$に含まれる。
$(ii)$ $b = -1$のとき、$a^2-ab+b^2 = a^2+a+1 = 1$だから、$a = 0, -1$である。このとき$\displaystyle A = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$となる。これは両方とも$M$に含まれる。
$(iii)$ $b = 1$のとき、$a^2-ab+b^2 = a^2-a+1 = 1$だから、$a = 0, 1$である。このとき$\displaystyle A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$となる。これは両方とも$M$に含まれる。

以上から、$\displaystyle \underline{A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}}$である。

$(4)$ $a^2-ab+b^2 = 0$を変形すると、$(2a-b)^2+3b^2 = 0$となる。このとき、$a = b = 0$である。$A = O$のとき、$A^n = E$とはならない。したがって以後は$a^2-ab+b^2 \ne 0$とする。このとき、$(2), (3)$の議論から$A$は$(3)$の解答の$6$つに決定される。
$(i)$ $\displaystyle A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$のとき、$A^n = E$となるのは$n = 1, 2, 3, \cdots $である。
$(ii)$ $\displaystyle A = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$のとき、$A^n = E$となるのは$n = 2, 4, 6, \cdots$である。
$(iii)$ $\displaystyle A = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$のとき、$\displaystyle A^2 = \begin{pmatrix}-1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, A^3 = -E$であるから$A^n = E$となるのは$n = 6, 12, 18, \cdots$である。
$(iv)$ $\displaystyle A = \begin{pmatrix}-1 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$のとき、$\displaystyle A^2 = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, A^3 = E$であるから$A^n = E$となるのは$n = 3, 6, 9, \cdots$である。
$(v)$ $\displaystyle A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}$のとき、$\displaystyle A^2 = \begin{pmatrix}-1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, A^3 = E$であるから$A^n = E$となるのは$n = 3, 6, 9, \cdots$である。
$(vi)$ $\displaystyle A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$のとき、$\displaystyle A^2 = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, A^3 = -E$であるから$A^n = E$となるのは$n = 6, 12, 18, \cdots$である。

以上から、$S_n$の要素の個数が$3$となるのは、$n = 3, 9, 15, \cdots = \underline{3+6k\ \ (k=0, 1, \cdots)}$である。