[math]2016年東京医科歯科大学数学問題1

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問題

自然数$n$に対して、$n$のすべての正の約数（$1$と$n$を含む）の和を$S(n)$とおく。たとえば、$S(9) = 1 + 3 + 9 = 13$である。このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $n$が異なる素数$p$と$q$によって$n = p^2q$と表されるとき、$S(n) = 2n$を満たす$n$をすべて求めよ。
$(2)$ $a$を自然数とする、$n = 2^a-1$が$S(n) = n+1$を満たすとき、$a$は素数であることを示せ。
$(3)$ $a$を$2$以上の自然数とする。$n = 2^{a-1}(2^a-1)$が$S(n)\leq 2n$を満たすとき、$n$の$1$の位は$6$か$8$であることを示せ。

方針

一般に整数$x, y$に対して$x, y$が互いに素であれば$S(xy) = S(x)S(y)$が成り立つ。$(1), (3)$でこのことを用いる。

$(2)$ 背理法を用いると良い。

$(3)$ $(2)$が利用できる。

解答

$(1)$ $n = p^2q$のとき、$S(n) = (1+p+p^2)(1+q) = 1+q+p+pq+p^2+p^2q$である。これが$2n = 2p^2q$と等しいとき、$$\begin{eqnarray}1+q+p+pq+p^2 & = & p^2q\end{eqnarray}$$となる。$q$についてまとめると、$$\begin{eqnarray}q & = & \frac{p^2+p+1}{p^2-p-1}\\ & = & 1 + \frac{2(p+1)}{p^2-p-1} \tag{a}\label{a}\end{eqnarray}$$である。$q$は整数であるから、$$\frac{2(p+1)}{p^2-p-1}\geq 1$$が必要で、整理すると$$\begin{eqnarray}2(p+1) & \geq & p^2-p-1 \\ p^2-3p-3 & \leq & 0\\ p(p-3) & \leq & 3\end{eqnarray}$$となる。これを満たすのは$p = 2, 3$のみであるが、\eqref{a}に代入すると、$p = 2$のとき$q = 7$で、$p = 3$のとき$\displaystyle q = \frac{13}{5}$となり後者は不適である。以上から、題意を満たすのは$n = 2^2\cdot 7 = \underline{28}$である。

$(2)$ $S(n) = n+1$を満たすとき、$n$の約数は$1, n$のみである。つまり$n$は素数である。$n = 2^a-1$が$a$が合成数のときに素数とならないことを示せば良い。$a$が合成数であることを仮定する。すなわち、$a = bc$を満たす$1$以上の整数$b, c$が存在する。このとき、$$\begin{eqnarray}2^{a}-1 & = & 2^{bc}-1 \\ & = & t^c-1\end{eqnarray}$$である。ただし、$2^b = t$とした。$b$が$1$より大きいので、$t > 2$となる。続けると、$$\begin{eqnarray}t^c-1 & = & (t-1)(t^{c-1}+t^{c-2} + \cdots + t + 1)\end{eqnarray}$$と因数分解できるが、$t-1$は$1$よりも大きく、また$t^{c-1}+t^{c-2} + \cdots + t + 1$も$1$より大きいから、$t^c-1$は合成数である。よって題意が示された。

$(3)$ $2^{a-1}$と$2^{a}-1$は互いに素であるから、$$\begin{eqnarray}S(n) & = & S(2^{a-1}(2^{a}-1)) \\ & = & S(2^{a-1})S(2^a-1)\end{eqnarray}$$となるが、$$\begin{eqnarray}S(2^{a-1}) & = & 1+2+2^2 + \cdots + 2^{a-1} \\ & = & 2^a-1\end{eqnarray}$$であるから、$S(n)\leq 2n$に代入すると、$$\begin{eqnarray}(2^a-1)S(2^a-1) & \leq & 2\cdot 2^{a-1}(2^a-1)\\ \iff S(2^a-1) & \leq & 2^a \tag{b}\label{b}\end{eqnarray}$$である。$2^{a}-1$が素数でないとき、$$\begin{eqnarray}S(2^a-1) & \geq & 1+(2^a-1) + \cdots \\ & > & 2^a\end{eqnarray}$$であるから、\eqref{b}が成り立つためには$2^{a}-1$が素数であることが必要である。すると、$(2)$から$a$は素数となる。

$a = 2$のときは、$n = 2^{a-1}(2^a-1) = 6$であり、$S(n) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12$となり、$S(n)\leq 2n$が成り立つが、このとき$n$の$1$の位は$6$であった。$a > 2$とすると、$a$は素数だから奇数である。$a$が奇数のとき$n = 2^{a-1}(2^a-1)$の$1$の位が$6$か$8$であることを示せば良い。$a = 3, 5, \cdots$のとき、$$\begin{eqnarray}2^{a-1} & \equiv & 4, 6, 4, 6, \cdots \pmod{10}\\ 2^{a}-1 & \equiv & 7, 1, 7, 1, \cdots \pmod{10}\end{eqnarray}$$となるから、$$\begin{eqnarray}2^{a-1}(2^a-1) & \equiv & 8, 6, 8, 6, \cdots \pmod{10}\end{eqnarray}$$となり$n$の$1$の位は$6$か$8$となる。

解説

約数の和、完全数を題材にした問題である。

オイラーのφ関数 - Wikipedia

$(1)$ の答えは$p^2q$という形で表される唯一の完全数である。

$(2)$ は整数$n$に対して、$$\begin{eqnarray}x^n-y^n & = & (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y + \cdots + xy^{n-2} + y^{n-1})\end{eqnarray}$$と因数分解できることを用いている。難関大学では時々この因数分解が鍵になる問題が出題されるので、抑えておくと良い。

$(3)$ は$a$が素数ではなくても奇数であるときに題意が示せば良い（$2$以上の素数は奇数なので）。$a = 2$のときだけは別に考える必要がある。