[math][東京医科歯科大学][総合問題]2000年東京医科歯科大学数学問題1

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問題

箱の中には$2$枚のカードが入っていて、$1$枚には複素数$1+i$が、他の$1$枚には$\displaystyle \frac{1-i}{2}$が記入してある（$i$は虚数単位）。この箱からランダムに$1$枚のカードを取り出し、カードに記された複素数を記録した後にカードを元の箱に戻す。この操作を何度も繰り返し、第$n$回目の操作で記録された複素数を$u_n$とする。$u_1$から$u_n$までの積$z_n = u_1u_2\cdots u_n$に関して以下の確率を求めよ。
$(1)$ $z_4 = 1$となる確率。
$(2)$ $|z_{10}| < 6$となる確率。
$(3)$ $n$が偶数のとき、$z_n$が虚数となる確率。

方針

複素数は絶対値と偏角を出しておく。

解答

$(1)$ $1 + i = \sqrt{2}(\cos{45^\circ}+ i\sin{45^{circ}})$であり、$\displaystyle \frac{1-i}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos{(-45^\circ)}+i\sin{(-45^\circ)})$である。$z_4 = 1$となるとき、$1+i$は$2$回、$\displaystyle \frac{1-i}{2}$も$2$回箱から取り出される。そのような取り出し方は全部で$_{4}{\mathbb{C}}_{2} = 6$通りで、カードの全部の取り出し方は$2^4 = 16$通りである。よって求める確率は$\displaystyle \frac{6}{16} = \underline{\frac{3}{8}}$である。

$(2)$ $1+i$が取り出される回数を$k$回とする（$k = 0, 1, \cdots, 10$）。このとき$\displaystyle \frac{1-i}{2}$の取り出される回数は$10-k$回である。このとき、$$\begin{eqnarray}|z_{10}| & = & 2^{\frac{k}{2}}\cdot 2^{-\frac{10-k}{2}}\\ & = & 2^{k-5}\end{eqnarray}$$となる。これは$k$の増加列で、$k = 7$のとき$|z_{10}| = 4$、$k = 8$のとき$|z_{10}| = 8$となるから、$k = 8, 9, 10$のとき$|z_{10}|\geq 6$となる。$(1)$と同様に考えると、$|z_{10}|\geq 6$となる確率は$$\begin{eqnarray}\frac{1}{2^{10}}\left(_{10}{\mathbb{C}}_{8} + _{10}{\mathbb{C}}_{9} + _{10}{\mathbb{C}}_{10}\right) & = & \frac{1}{2^{10}}(45+10+1)\\ & = & \frac{7}{128}\end{eqnarray}$$となる。したがって、$|z_{10}| < 6$となる確率は$\displaystyle 1-\frac{7}{128} = \underline{\frac{121}{128}}$である。

$(3)$ 求める確率を$p_n$とする。$z_n$が虚数のとき$z_{n+2}$も虚数になるのは、
$\ \ (a)$ $1+i$が$1$回、$\displaystyle \frac{1-i}{2}$が$1$回出る場合である。この確率は$\displaystyle \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$である。

また、$z_n$が実数のとき、$z_{n+2}$が虚数になるのは、
$\ \ (b)$ $1+i$が$2$回出る。
$\ \ (c)$ $\displaystyle \frac{1-i}{2}$が$2$回出る。

の$2$通りがある。$(b), (c)$の確率は$a$の余事象であるから、$\displaystyle 1-\frac{1}{2}$である。以上から、$$\begin{eqnarray}p_{n+2} & = & \frac{1}{2}\cdot p_n + \frac{1}{2}\cdot(1-p_n)\\ & = & \frac{1}{2}\end{eqnarray}$$となる。$(a)$から$\displaystyle p_2 = \frac{1}{2}$であるから、$n$が偶数のとき$z_n$が虚数となる確率は$\displaystyle \underline{\frac{1}{2}}$となる。