[math]2017年東京医科歯科大学数学問題1

Table of Contents

問題

$n$ を自然数とする。 $1$ から $3 n + 1$ までの自然数を並びかえて、順に $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n + 1}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}, c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ とおく。また、次の条件 $(C 1), (C 2)$ が成立しているとする。
$(C 1)$ $3 n$ 個の組 $| a_{1} - a_{2} |, | a_{2} - a_{3} |, \dots, | a_{n} - a_{n + 1} |, | a_{1} - b_{1} |, | a_{2} - b_{2} |, \dots,$ $| a_{n} - b_{n} |, | a_{1} - c_{1} |, | a_{2} - c_{2} |, \dots, | a_{n} - c_{n} |$ は、すべて互いに異なる。
$(C 2)$ $1$ 以上 $n$ 以下のすべての自然数 $k$ に対し、 $| a_{k} - b_{k} | > | a_{k} - c_{k} | > | a_{k} - a_{k + 1} |$ が成り立つ。
このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $n = 1$ かつ $a_{1} = 1$ のとき、 $a_{2}, b_{1}, c_{1}$ を求めよ。
$(2)$ $n = 2$ かつ $a_{1} = 7$ のとき、 $a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ を求めよ。
$(3)$ $n \geq 2$ かつ $a_{1} = 1$ のとき、 $a_{3}$ を求めよ。
$(4)$ $n = 2017$ かつ $a_{1} = 1$ のとき、 $a_{29}, b_{29}, c_{29}$ を求めよ。

方針

まずは誘導に従い実験してみる。

解答

$(1)$ $n = 1$ のとき $3 n + 1 = 4$ で、条件 $(C 2)$ から $| a_{1} - b_{1} | > | a_{1} - c_{1} | > | a_{1} - a_{2} |$ であるから、 $\underset{―}{a_{2} = 2, b_{1} = 4, c_{1} = 3}$ となる。このとき、 $| a_{1} - a_{2} | = 1, | a_{1} - b_{1} | = 3, | a_{1} - c_{1} | = 2$ となり条件 $(C 1)$ も満たされる。

$(2)$ 条件 $(C 2)$ から $| a_{1} - b_{1} | > | a_{1} - c_{1} | > | a_{1} - a_{2} |$ であり、 $a_{1} = 7$ であるから、 $a_{1} - b_{1} > a_{1} - c_{1} > a_{1} - a_{2}$ であり、 $b_{1} < c_{1} < a_{2}$ である。これより $b_{1} \leq 4$ かつ $a_{2} \geq 3$ が必要である。 $| a_{1} - a_{2} |, | a_{2} - a_{3} |$ は異なるので、 $a_{2}, a_{3}$ の取りうる組み合わせは以下の様になる。

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
		$a_{2}$	$a_{3}$			$a_{1}$
		$a_{2}$		$a_{3}$		$a_{1}$
		$a_{2}$			$a_{3}$	$a_{1}$
	$a_{3}$		$a_{2}$			$a_{1}$
		$a_{3}$	$a_{2}$			$a_{1}$
			$a_{2}$	$a_{3}$		$a_{1}$
			$a_{2}$		$a_{3}$	$a_{1}$
$a_{3}$				$a_{2}$		$a_{1}$
	$a_{3}$			$a_{2}$		$a_{1}$
			$a_{3}$	$a_{2}$		$a_{1}$
$a_{3}$					$a_{2}$	$a_{1}$
	$a_{3}$				$a_{2}$	$a_{1}$
		$a_{3}$			$a_{2}$	$a_{1}$
			$a_{3}$		$a_{2}$	$a_{1}$

まず

a_{1}, a_{2}, a_{3}

を決める。

また、条件 $(C 2)$ から $| a_{2} - b_{2} | > | a_{2} - c_{2} | > | a_{2} - a_{3} |$ であるから、一番上の組み合わせ以外は不適であることがわかる。このようにしておいて、再度 $| a_{2} - b_{2} | > | a_{2} - c_{2} | > | a_{2} - a_{3} |$ であることから、 $b_{2}, c_{2}$ も決められる。

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$b_{1}$	$c_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{2}$	$b_{2}$	$a_{1}$

b_{2}, c_{3}

も決められる。

以上から、 $\underset{―}{a_{2} = 3, a_{3} = 4, b_{1} = 1, b_{2} = 6, c_{1} = 2, c_{2} = 5}$ となる。

$(3)$ $n = 3$ の時を例に考える。条件 $(C 1)$ から $| a_{1} - a_{2} |, | a_{2} - a_{3} |, \dots, | a_{n} - a_{n} |, | a_{1} - b_{1} |, | a_{2} - b_{2} |, \dots, | a_{n} - b_{n} |, | a_{1} - c_{1} |, | a_{2} - c_{2} |, \dots, | a_{n} - c_{n} |$ はすべて異なるので、 $1, 2, \dots, 3 n$ のどれかになる。条件 $(C 2)$ から $| a_{1} - b_{1} | > | a_{1} - c_{1} | > | a_{1} - a_{2} |$ であり、 $a_{1} = 1$ であるから $2 \leq a_{2} < c_{2} < b_{2}$ である。 $b_{1} \neq 10$ とすると、 $| a_{1} - b_{1} | = | b_{1} - 1 | < 9$ となり、 $3 n$ 個の組の中で $9$ となる組がなくなる。したがって $b_{1} = 10$ で、同様に考えて $c_{1} = 9, a_{2} = 8$ が決定する。

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$a_{1}$							$a_{2}$	$c_{1}$	$b_{1}$

n = 3

の時の例。

$a_{2} = 8$ が決まると、対称性を利用して、同様に $b_{2} = 2, c_{2} = 3, a_{3} = 4$ と決まっていく。

一般の $n$ でも同様に考え、 $\underset{―}{a_{3} = 4}$ と決定する。

$(4)$ $n = 2017$ のとき $3 n + 1 = 6052$ である。 $(3)$ と同様に考え、 $a_{1} = 1, a_{3} = 4 = 1 + 3, a_{5} = 7 = 1 + 3 + 3, \dots, a_{k n - 1} = 1 + 3 (k - 1)$ となる。したがって $\underset{―}{a_{29} = 43}$ である。また、 $a_{2} = 6052 - 2 = 6050 (c_{1} = 6051, b_{1} = 6052), a_{4} = 6052 - 2 - 3, \dots, a_{2 k} = 6052 - 2 - 3 (k - 1)$ となる。したがって $a_{30} = 6008$ となり、 $\underset{―}{b_{29} = 6010, c_{29} = 6009}$ となる。

解説

$a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n + 1}$ と順番に考えていくのがわかりやすい。条件 $(C 1)$ から $3 n$ 個の組はすべて異なるので、 $a_{1}$ が決まると $b_{1}, c_{1}, a_{2}$ も決まってしまう。つまり、 $1$ から $3 n + 1$ 個の整数の差で組み合わせを決めるので、 $a_{1} = 1$ ならば $| a_{1} - b_{1} | = 3 n$ としないと、 $3 n$ が作られなくなってしまう。このことに気が付かないと非常に難しく感じてしまう。

$(2)$ であるが、 $a_{1}$ が決まっていて、 $a_{2}$ と $a_{3}$ をリストアップしていく。ここから $b, c$ について考えるが、 $a_{1}$ と $a_{2}$ の距離よりも $a_{1}$ と $c_{1}$ および $a_{1}$ と $b_{1}$ の距離は離れていなくてはならない。また、 $a_{2}$ と $a_{3}$ の距離よりも $a_{2}$ と $c_{2}$ および $a_{2}$ と $b_{2}$ の距離は離れていなくてはならない。これを考慮して表をみると、可能な組み合わせは一通りしかないことがわかる。