[math][東京医科歯科大学][微分]2018年東京医科歯科大学数学問題3

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問題

関数$f(x) = x-\log{(1+x)}$について、以下の各問いに答えよ。ここで$\log$は自然対数を表す。また$\displaystyle \lim_{x\to \infty}{\frac{\log{x}}{x}\to 0}$を用いて良い。
$(1)$ $p$を実数とするとき、$f(x) = p$を満たす実数$x$の個数を求めよ。
以下、$f(x)$の定義域を$x\geq 0$に制限した関数の逆関数を$g(x)$とする。
$(2)$ $u$を正の実数とする。$p\geq 0$のとき、$$p\leq g(p)\leq \frac{u+1}{u}(p-u+\log{(u+1)})+u$$を示せ。
$(3)$ $p$を正の実数とし、$xy$平面において、曲線$y = g(x)$と直線$x = p$の交点を通り、直線$y = x$に平行な直線を$l$とする。また、$l$と$x$軸および曲線$y = g(x)$によって囲まれた図形の面積を$S$とする。このとき、$S$を$p$を用いて表わせ。

方針

$(2)$ 式の意味を考える。

$(3)$ $g(x)$の積分は難しいので、対称性を考慮して$y = f(x)$を相手にしたほうが良い。

解答

$(1)$ $x\to -1+0$のとき、$f(x)\to \infty$である。以後$1 + x > 0$として考える。$\displaystyle f^{\prime}(x) = 1-\frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$である。したがって、$x < 0$のとき$f(x)$は単調減少で、$x > 0$のときは$f(x)$は単調増加となる。また、$\displaystyle f^{\prime\prime}(x) = \frac{1}{(1+x)^2 > 0}$であるから、$y = f(x)$は下に凸となる。以上から、$y = f(x)$の概形は以下の様になる。

これから、$f(x) = p$を満たす実数$x$の個数は、$$\begin{cases}0\ \ (p < 0)\\ 1\ \ (p = 0)\\ 2\ \ (p > 0)\end{cases}$$となる。

$(2)$ $x\geq 0$で$\log{(1+x)}\geq 0$であるから、$p-\log{(1+p)}\leq p$である。したがって$f(p)\leq p $となり、$f(x)$が単調増加であることから$p\leq f^{-1}(p)$となる。よって、$p\leq g(p)$である。また、$v = f(u)$とすると、点$(u, v)$と点$(v, u)$は$y = x$に対して対称で、$g(v) = u$であり、$$\begin{eqnarray}g^{\prime}(v) & = & \frac{1}{f^{\prime}(u)}\\ & = & \frac{u+1}{u}\end{eqnarray}$$となる。すなわち、示すべき不等式の右側は$$g(p)\leq g^{\prime}(v)(p-v) + g(v)$$と書き直せる。$(1)$から$y = f(x)$は下に凸であるから、$y = g(x)$は上に凸となる。すなわち、接線は$y = g(x)$の上にあるから、題意の不等式が成立する。

$(3)$ $g(p) = q$とする。$S$は$y = f(x)$上の点$(q, p)$を通り、$y = x$に平行な直線（$l^{\prime}$とする）と$y$軸、および$y = f(x)$によって囲まれる部分の面積と等しい。

$l^{\prime}: y = x-q+p$であるから、$$\begin{eqnarray}S & = & \int_{0}^{q}{(f(x)-(x-q+p))dx}\\ & = & \int_{0}^{q}{(-\log(1+x)+(q-p))dx}\\ & = & \left[-(1+x)(\log{(1+x)}-1)\right]_{0}^{q}+q(q-p)\\ & = & -(1+q)(\log{(1+q)}-1)+(-1)+q(q-p)\end{eqnarray}$$となる。$f(q) = q-\log{(1+q)} = p$であるから、$$\begin{eqnarray}S & = & -(1+q)(q-p-1)-1+q(q-p)\\ & = & \underline{p}\end{eqnarray}$$となる。