[math][東京医科歯科大学][微分]2002年東京医科歯科大学数学問題3

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問題

正の整数$n$に対し、関数$f_n(x)$を次式で定義する。$$f_n(x) = \int_{1}^{x}{(x-t)^ne^{t}dt}$$（$e$は自然対数の底）。このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $f_1(x), f_2(x)$を求めよ。
$(2)$ $n\geq 2$のとき、$f_n(x)-nf_{n-1}(x)$を求めよ。
$(3)$ $f_n(x)-f_{n}^{\prime}(x)$を求めよ。ここで$f_{n}^{\prime}(x)$は$f_n(x)$の導関数を表す。
$(4)$ $n\geq 2$のとき、$f_n(x)$を続けて$(n-1)$回微分して得られる関数を求めよ。

方針

比較的よく見かけるタイプの問題と言っていい。

解答

$(1)$ $$\begin{eqnarray}f_1(x) & = & \int_{1}^{x}{(x-t)e^{t}dt}\\ & = & x[e^t]_{1}^{x}-\int_{1}^{x}{te^tdt}\\ & = & xe^x-ex-[(t-1)e^{t}]_{1}^{x}\\ & = & xe^x-ex-(x-1)e^x\\ & = & \underline{e^x-ex}\\ f_2(x) & = & \int_{1}^{x}{(x-t)^2dt}\\ & = & [(x-t)^2e^t]_{1}^{x}-\int_{1}^{x}{(-1)\cdot 2(x-t)e^tdt}\\ & = & -(x-1)^2e+e\int_{1}^{x}{(x-t)e^tdt}\\ & = & -(x-1)^2e+2f_1(x)\\ & = & -(x-1)^2e+2(e^x-ex)\\ & = & \underline{-x^2e+2e^x-e}\end{eqnarray}$$となる。

$(2)$ 部分積分法により、$n\geq 2$のとき、$$\begin{eqnarray}f_n(x) & = & \int_{1}^{x}{(x-t)^ne^tdt}\\ & = & [(x-t)^ne^t]_{1}^{x}-\int_{1}^{x}{(-1)\cdot n(x-t)^{n-1}e^tdt}\\ & = & -(x-1)^ne+n\int_{1}^{x}{(x-t)^{n-1}e^tdt}\\ & = & -(x-1)^ne+nf_{n-1}(x)\end{eqnarray}$$となる。よって$f_n(x)-nf_{n-1}(x) = \underline{-(x-1)^ne}$となる。

$(3)$ $$f_n(x) = \int_{1}^{x}{(x-t)^ne^tdt}$$で$x-t = s$と置換すると、$$\begin{eqnarray}f_n(x) & = & \int_{x-1}^{0}{s^ne^{x-s}(-ds)}\\ & = & e^x\int_{0}^{x-1}{s^ne^{-s}ds}\end{eqnarray}$$である。したがって、$$\begin{eqnarray}f_{n}^{\prime}(x) & = & e^x\int_{0}^{x-1}{s^ne^{-s}ds} + e^x(x-1)^ne^{-(x-1)}\\ & = & f_n(x)+e^x(x-1)^ne\end{eqnarray}$$である。これから$f_n(x)-f_{n}^{\prime}(x) = \underline{-(x-1)^ne}$となる。

$(4)$ $(2), (3)$から$n\geq 2$のとき$f_n^{\prime}(x) = nf_{n-1}(x)$がわかる。この式を$n$回微分して、$$\begin{eqnarray}f_{n}^{(n-1)}(x) & = & n\cdot n-1\cdots 2\cdot f_1(x)\\ & = & \underline{n!(e^x-ex)}\end{eqnarray}$$となる。

解説

$(1)$ これは単なる計算なので、ミスがないように気をつける。

$(2)$ 部分積分法を用いる。$(x-t)^n$を$t$で微分したときにマイナスが現れることに注意する。

$(3)$ $(2)$を用いると話が少しややこしくなる。できないことはないが、ここは簡単に置換してみると良い。$(3)$を解く前から置換した、という受験生も多かったという話である。

$(4)$ $(2), (3)$の結果から、$f_n^{\prime}(x) = nf_{n-1}(x)$がわかる。後はこれをどんどん微分していけば良い。

発展になるが、$f_n(x) = n!f_1(x)$はよく見ると階乗の形をしている。$f_n(x)$と似た形の$$\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty}{t^{s-1}e^{-t}dt}$$はガンマ関数と呼ばれ、階乗の実数への自然な拡張となっている。この関数は$\Gamma(z) = (z-1)\Gamma(z-1)$および$\Gamma(1) = 1$を満たす。ただし、$z$は複素数で実部は正とする。$z$が自然数のときは我々がよく知る階乗と一致する。