[math][東京医科歯科大学][複素数]2001年東京医科歯科大学数学問題1

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問題

以下の各問いに答えよ。ただし$\pi$は円周率を表す。
$(1)$ 複素数$z$が$1+z+z^2+z^3+z^4 = 0$を満たすとき$$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)$$の値を求めよ。
$(2)$ 絶対値$1$、偏角$2\theta\ (0\leq \theta< \pi)$の複素数$\omega$に対して$r = |1-\omega|$とおくとき、$\sin{\theta}$を$r$を用いて表わせ。
$(3)$ $\displaystyle \sin{\frac{\pi}{5}}\sin{\frac{2\pi}{5}}\sin{\frac{3\pi}{5}}\sin{\frac{4\pi}{5}}$の値を求めよ。

方針

やったことがないと意外に難しいかもしれない。

$(1)$ 教科書の公式$$1+x+x^2+\cdots +x^{n-1} = \frac{1-x^n}{1-x}\ \ (x\ne 1)$$の出番である。これを用いると$z^5 = 1$がわかる。後はうまく$z^5$が現れるように計算の順番を工夫する。

解答

$(1)$ $1+z+z^2+z^3+z^4 = 0$と、明らかに$z\ne 1$であることから、$$\begin{eqnarray}1+z+z^2+z^3+z^4 & = & \frac{1-z^5}{1-z}\\ & = & 0\end{eqnarray}$$となる。したがって、$z^5 = 1$である。$$\begin{eqnarray}(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4) & = & (1-z)(1-z^5)\times (1-z^2)(1-z^3)\\ & = & (1-z^4-z+z^5)\times (1-z^3-z^2+z^5)\\ & = & (2-z-z^4)(2-z^2-z^3)\\ & = & 4-2z^2-2z^3-2z+z^3+z^4-2z^4+z^6+z^7\\ & = & 4-2(z+z^2+z^3+z^4) + (z+z^2+z^3+z^4)\\ & = & 4-2(-1) + (-1)\\ & = & \underline{5}\end{eqnarray}$$となる。

$(2)$ $\omega = \cos{2\theta}+i\sin{2\theta}$とすると、$$\begin{eqnarray}r & = & |1-\omega|\\ & = & |1-\cos{2\theta}-i\sin{2\theta}|\\ & = & \sqrt{(1-\cos{2\theta})^2+\sin^2{2\theta}}\\ & = & \sqrt{2-2\cos{2\theta}}\\ & = & \sqrt{4\sin^2{\theta}}\\ & = & 2\sin{\theta}\ \ (0\leq \theta< \pi)\end{eqnarray}$$となる。よって$\displaystyle \underline{\sin{\theta} = \frac{r}{2}}$となる。

$(3)$ $(2)$の結果から、$k = 1, 2, 3, 4$として、$$\sin{\frac{k\pi}{5}} = \frac{1}{2}\left|1-\cos{\frac{2k\pi}{5}}-i\sin{\frac{2k\pi}{5}}\right|$$である。$\displaystyle {\omega}_k = \cos{\frac{2k\pi}{5}} + i\sin{\frac{2k\pi}{5}}$とすると、${\omega}_k^5 = 1$であるから、$$\begin{eqnarray}1+\omega_1+\omega_2+\omega_3+\omega_4 & = & 1+\omega_1 + {\omega_1}^2 + {\omega_1}^3 + {\omega_1}^4\\ & = & \frac{1-{\omega_1}^5}{1-\omega_1}\\ & = & 0\end{eqnarray}$$となる。したがって、$(1)$の結果から、$$\begin{eqnarray}\sin{\frac{\pi}{5}}\sin{\frac{2\pi}{5}}\sin{\frac{3\pi}{5}}\sin{4\frac{\pi}{5}} & = & \frac{1}{2^4}|(1-\omega_1)(1-\omega_2)(1-\omega_3)(1-\omega_4)|\\ & = & \underline{\frac{5}{16}}\end{eqnarray}$$となる。