[math][東京医科歯科大学][複素数]2001年東京医科歯科大学数学問題1

Table of Contents

問題

以下の各問いに答えよ。ただし $π$ は円周率を表す。
$(1)$ 複素数 $z$ が $1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} = 0$ を満たすとき $(1 - z) (1 - z^{2}) (1 - z^{3}) (1 - z^{4})$ の値を求めよ。
$(2)$ 絶対値 $1$ 、偏角 $2 θ (0 \leq θ < π)$ の複素数 $ω$ に対して $r = | 1 - ω |$ とおくとき、 $\sin θ$ を $r$ を用いて表わせ。
$(3)$ $\sin \frac{π}{5} \sin \frac{2 π}{5} \sin \frac{3 π}{5} \sin \frac{4 π}{5}$ の値を求めよ。

方針

やったことがないと意外に難しいかもしれない。

$(1)$ 教科書の公式 $1 + x + x^{2} + \dots + x^{n - 1} = \frac{1 - x^{n}}{1 - x} (x \neq 1)$ の出番である。これを用いると $z^{5} = 1$ がわかる。後はうまく $z^{5}$ が現れるように計算の順番を工夫する。

解答

$(1)$ $1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} = 0$ と、明らかに $z \neq 1$ であることから、 $\begin{array}{rcl} 1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} & = & \frac{1 - z^{5}}{1 - z} \\ = & 0 \end{array}$ となる。したがって、 $z^{5} = 1$ である。 $\begin{array}{rcl} (1 - z) (1 - z^{2}) (1 - z^{3}) (1 - z^{4}) & = & (1 - z) (1 - z^{5}) \times (1 - z^{2}) (1 - z^{3}) \\ = & (1 - z^{4} - z + z^{5}) \times (1 - z^{3} - z^{2} + z^{5}) \\ = & (2 - z - z^{4}) (2 - z^{2} - z^{3}) \\ = & 4 - 2 z^{2} - 2 z^{3} - 2 z + z^{3} + z^{4} - 2 z^{4} + z^{6} + z^{7} \\ = & 4 - 2 (z + z^{2} + z^{3} + z^{4}) + (z + z^{2} + z^{3} + z^{4}) \\ = & 4 - 2 (- 1) + (- 1) \\ = & \underset{―}{5} \end{array}$ となる。

$(2)$ $ω = \cos 2 θ + i \sin 2 θ$ とすると、 $\begin{array}{rcl} r & = & | 1 - ω | \\ = & | 1 - \cos 2 θ - i \sin 2 θ | \\ = & \sqrt{(1 - \cos 2 θ)^{2} + \sin^{2} 2 θ} \\ = & \sqrt{2 - 2 \cos 2 θ} \\ = & \sqrt{4 \sin^{2} θ} \\ = & 2 \sin θ (0 \leq θ < π) \end{array}$ となる。よって $\underset{―}{\sin θ = \frac{r}{2}}$ となる。

$(3)$ $(2)$ の結果から、 $k = 1, 2, 3, 4$ として、 $\sin \frac{k π}{5} = \frac{1}{2} | 1 - \cos \frac{2 k π}{5} - i \sin \frac{2 k π}{5} |$ である。 $ω_{k} = \cos \frac{2 k π}{5} + i \sin \frac{2 k π}{5}$ とすると、 $ω_{k}^{5} = 1$ であるから、 $\begin{array}{rcl} 1 + ω_{1} + ω_{2} + ω_{3} + ω_{4} & = & 1 + ω_{1} + {ω_{1}}^{2} + {ω_{1}}^{3} + {ω_{1}}^{4} \\ = & \frac{1 - {ω_{1}}^{5}}{1 - ω_{1}} \\ = & 0 \end{array}$ となる。したがって、 $(1)$ の結果から、 $\begin{array}{rcl} \sin \frac{π}{5} \sin \frac{2 π}{5} \sin \frac{3 π}{5} \sin 4 \frac{π}{5} & = & \frac{1}{2^{4}} | (1 - ω_{1}) (1 - ω_{2}) (1 - ω_{3}) (1 - ω_{4}) | \\ = & \underset{―}{\frac{5}{16}} \end{array}$ となる。