[math][東京医科歯科大学][微分]2000年東京医科歯科大学数学問題3

問題
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問題

関数$f(x) = \log{(x+\sqrt{x^2-1})}\ \ (x\geq 1)$およびその逆関数$g(x)\ \ (x\geq 0)$のグラフをそれぞれ$C_1, C_2$とする。
$(1)$ $C_1$上の点$(a, f(a))$における$C_1$の法線$l_1$と$C_2$上の点$(f(b), b)$における$C_2$の法線$l_2$が平行であるとき、$a$を用いて$b$を表わせ。
$(2)$ 点$(g(1), 1)$における$C_1$の法線$l$と曲線$C_1$および$x$軸とで囲まれる図形の面積を求めよ。
$(3)$ 点$P$が$C_1$上を、点$Q$が$C_2$上をそれぞれ動くとき、線分$PQ$の長さの最小値を求めよ。

方針

逆関数の微分やグラフの利用、面積の積分計算などを含む総合的な問題である。受験生の実力をよく図れる問題であろう。

解答

$(1)$ $$\begin{eqnarray}f^{\prime}(x) & = & \frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}}\\ & = & \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\end{eqnarray}$$である。また、$$\begin{eqnarray}g^{\prime}(x) & = & (f^{-1}(x))^{\prime}\\ & = & \frac{1}{\frac{dy}{dx}}\\ & = & \sqrt{y^2-1}\end{eqnarray}$$である。$l_1, l_2$が平行なとき、$$\frac{1}{\sqrt{a^2-1}} = \sqrt{b^2-1}$$である。両辺を二乗して整理すると、$\displaystyle b^2 = \frac{a^2}{a^2-1}$となる。$b > 0$であるから、$\displaystyle \underline{b = \frac{a}{\sqrt{a^2-1}}}$となる。

$(2)$ 最初に$g(x)$を求める。$y = \log{(x+\sqrt{x^2-1})}\ \ (x\geq 1)$とすると、$$\begin{eqnarray}y & = & \log{(x+\sqrt{x^2-1})}\\ e^y & = & x+\sqrt{x^2-1}\\ e^y-x & = & \sqrt{x^2-1}\end{eqnarray}$$である。両辺を二乗して、$$\begin{eqnarray}e^{2y}-2xe^y+x^2 & = & x^2-1\\ 2xe^y & = & e^{2y} +1\\ x & = & \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\end{eqnarray}$$となる。したがって、$\displaystyle g(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}\ \ (x\geq 0)$となる。点$(g(1), 1)$における$C_1$の法線$l$と曲線$C_1$および$x$軸とで囲まれる図形の面積は、点$(1, g(1)$における$C_2$の法線$l^{\prime}$と曲線$C_2$および$y$軸とで囲まれる図形の面積と等しい。$\displaystyle g^{\prime}(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$に注意すると、$l^{\prime}$の傾きは$\displaystyle -\frac{1}{g^{\prime}(1)} = -\frac{2}{e-e^{-1}}$となる。したがって、$l^{\prime}$の方程式は$$l:\ \ y = -\frac{2}{e-e^{-1}}(x-1) + g(1)$$となる。これから求める図形の面積を$S$とすると、$$\begin{eqnarray}S & = & \int_{0}^{1}{\left(-\frac{2}{e-e^{-1}}(x-1)+\frac{e+e^{-1}}{2}-g(x)\right)dx}\\ & = & -\frac{2}{e-e^{-1}}\left[\frac{(x-1)^2}{2}\right]_{0}^{1}+\frac{e+e^{-1}}{2}-\left[\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right]_{0}^{1}\\ & = & \frac{1}{e-e^{-1}}+\frac{e+e^{-1}}{2}-\frac{e-e^{-1}}{2}+\frac{1-1}{2}\\ & = & \frac{1}{e-e^{-1}}+e^{-1}\\ & = & \underline{\frac{2e^2-1}{2(e^2-1)}}\end{eqnarray}$$となる。

$(3)$ $y = f(x)$と$y = g(x)$は$y = x$に関して対称だから、$f^{\prime}(a) = 1$のとき、$\displaystyle g^{\prime}(f(a)) = \frac{1}{f^{\prime}(a)} = 1$であるから、$f^{\prime}(a) = 1$となるような$a$に対して、点$P(a, f(a))$と直線$y = x$との距離の$2$倍が求める$PQ$の最小値になる。$\displaystyle f^{\prime}(a) = \frac{1}{\sqrt{a^2-1}}$であるから、$$\begin{eqnarray}\frac{1}{\sqrt{a^2-1}} & = & 1\\ a^2-1 & = & 1\\ a & = & \sqrt{2}\ \ (a > 0)\end{eqnarray}$$である。したがって、点$P(\sqrt{2}, \log{(\sqrt{2}+1)})$として、この点と直線$x-y = 0$との距離は$$\frac{|\sqrt{2}-\log{(\sqrt{2}+1)}|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{\sqrt{2}-\log{(\sqrt{2}+1)}}{\sqrt{2}}$$となる。求める答えはこの$2$倍の$\displaystyle \underline{\sqrt{2}(\sqrt{2}-\log{(\sqrt{2}+1)})}$となる。