[math][京都大学]2024年京都大学理系数学問題6

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問題

自然数$k$に対して、$a_k = 2^{\sqrt{k}}$とする。$n$を自然数とし、$a_k$の整数部分が$n$桁であるような$k$の個数を$N_n$とする。また、$a_k$の整数部分が$n$桁であり、その最高位の数字が$1$であるような$k$の個数を$L_n$とする。次を求めよ。$$\lim_{n\to\infty}{\frac{L_n}{N_n}}$$ただし、例えば実数$2345.678$の整数部分$2345$は$4$桁で、最高位の数字は$2$である。

方針

$10^{n-1} \leq a_k < 10^{n}$のとき、$a_k$の桁数は$n-1$であり、$m\times 10^{n-1} \leq a_k < (m+1)\times 10^{n-1}$のとき、$a_k$の最高位の数字は$m$である。

また、正の実数$a, b$に対して、$a\leq k < b$を満たす整数$k$の個数は$a$が整数でないとき$[b]-[a]$（$[a]+1\leq k\leq [b]$を満たす整数の個数）、$a$が整数のとき$[b]-[a]+1$（$[a]\leq k < [b]$を満たす整数の個数）となる。ただし、$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す（ガウス記号）。

解答

$a_k$の整数部分が$n$桁であるとき、$10^{n-1}\leq a_k = 2^{\sqrt{k}} < 10^{n}$が成り立つ。変形して、$(n-1) \leq \sqrt{k}\log_{10}{2} < n$である。さらに変形して、$\displaystyle \frac{(n-1)^2}{(\log_{10}{2})^2} \leq k < \frac{n^2}{(\log_{10}{2})^2} $となる。$\displaystyle \frac{(n-1)^2}{(\log_{10}{2})^2}$は整数にはならないから、$\displaystyle N_n = \left[\frac{n^2}{(\log_{10}{2})^2}\right]-\left[\frac{(n-1)^2}{(\log_{10}{2})^2}\right]$となる。

また、$a_k$の最高位の数字が$1$であるとき、$10^{n-1}\leq a_k = 2^{\sqrt{k}} < 2\times 10^{n-1}$である。変形して、$n-1 \leq \sqrt{k}\log_{10}{2} < \log_{10}{2} + n-1$である。さらに変形して、$\displaystyle \frac{(n-1)^2}{(\log_{10}{2})^2}\leq k<\left(1+\frac{n-1}{\log_{10}{2}}\right)^2$となる。したがって、$\displaystyle L_n = \left[\left(1+\frac{n-1}{\log_{10}{2}}\right)^2\right] -\left[\frac{(n-1)^2}{(\log_{10}{2})^2}\right]$である。

ガウス記号の定義から、以下が成り立つ。$$\begin{eqnarray} \frac{n^2}{(\log_{10}{2})^2} -1 < \left[\frac{n^2}{(\log_{10}{2})^2}\right] \leq \frac{n^2}{(\log_{10}{2})^2} \\ \frac{(n-1)^2}{(\log_{10}{2})^2}-1 < \left[\frac{(n-1)^2}{(\log_{10}{2})^2}\right] \leq \frac{(n-1)^2}{(\log_{10}{2})^2}\end{eqnarray}$$である。これから、$$\frac{1}{(\log_{10}{2})^2}(n^2-(n-1)^2)-1 < N_n < \frac{1}{(\log_{10}{2})^2}(n^2-(n-1)^2)+1$$つまり、$$\frac{1}{(\log_{10}{2})^2}(2n-1)-1 < N_n < \frac{1}{(\log_{10}{2})^2}(2n-1)+1 \tag{1}\label{1}$$が成り立つ。

同様に、ガウス記号の定義から、$$\begin{eqnarray} \left(1+\frac{n-1}{\log_{10}{2}}\right)^2 -1 < \left[\left(1+\frac{n-1}{\log_{10}{2}}\right)^2\right] \leq \left(1+\frac{n-1}{\log_{10}{2}}\right)^2 \\ \frac{(n-1)^2}{(\log_{10}{2})^2}-1 < \left[\frac{(n-1)^2}{(\log_{10}{2})^2}\right] \leq \frac{(n-1)^2}{(\log_{10}{2})^2}\end{eqnarray}$$である。これから、$$\left(1+\frac{n-1}{\log_{10}{2}}\right)^2 – \frac{(n-1)^2}{(\log_{10}{2})^2} -1 < L_n < \left(1+\frac{n-1}{\log_{10}{2}}\right)^2 – \frac{(n-1)^2}{(\log_{10}{2})^2} +1$$つまり、$$2\frac{n-1}{\log_{10}{2}} < L_n < 2\frac{n-1}{\log_{10}{2}} + 2 \tag{2}\label{2}$$が成り立つ。

\eqref{1}, \eqref{2}から、$$\frac{\frac{2(n-1)}{\log_{10}{2}}}{\frac{1}{(\log_{10}{2})^2}(2n-1)+1} < \frac{L_n}{N_n} < \frac{\frac{2(n-1)}{\log_{10}{2}}+2}{\frac{1}{(\log_{10}{2})^2}(2n-1)-1}$$この最左辺も最右辺も、$n\to \infty$のとき$\log_{10}{2}$に収束する。よって、求める極限は$\underline{\log_{10}{2}}$である。