[math][東京大学][確率]2024年東京大学理系数学第3問

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問題

座標平面上を次の規則(i), (ii)に従って$1$秒ごとに動く点$P$を考える。
(i) 最初に、$P$は点$(2, 1)$にいる。
(ii) ある時刻で$P$が点$(a, b)$にいるとき、その$1$秒後には$P$は
・確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で$x$軸に関して$(a, b)$と対称な点
・確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で$y$軸に関して$(a, b)$と対称な点
・確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で$y = x$に関して$(a, b)$と対称な点
・確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で$y = -x$に関して$(a, b)$と対称な点
にいる。
以下の問いに答えよ。ただし、$(1)$については、結論のみを書けばよい。
$(1)$ $P$がとりうる点の座標をすべて求めよ。
$(2)$ $n$を正の整数とする。最初から$n$秒後に$P$が点$(2, 1)$にいる確率と、最初から$n$秒後に$P$が点$(-2, -1)$にいる確率は等しいことを示せ。
$(3)$ $n$を正の整数とする。最初から$n$秒後に$P$が点$(2, 1)$にいる確率を求めよ。

方針

点$(a, b)$について、$x$軸に関して対称な点は$(a, -b)$、$y$軸に関して対称な点は$(-a, b)$、$y = x$に関して対称な点は$(b, a)$、$y = -x$に関して対称な点は$(-b, -a)$である。

最後であるが、対称な点を$(p, q)$とすると、次が成り立つ。$$\begin{cases} \displaystyle \frac{b + q}{2} & = & \displaystyle -\frac{a+p}{2}\\ \displaystyle \frac{q-b}{p-a} & = & 1\end{cases}$$二番目の式から$q = p-a+b$で、一番目の式に代入して、$b + p-a+b = -a-p$である。したがって、$\displaystyle p = -b, q = -a$となる。

以上から、$(2, 1)$は$1$秒後には$(2, -1), (-2, 1), (1, 2), (-1, -2)$にあり、$2$秒後には$$\begin{eqnarray}(2, -1) & \rightarrow & (2, 1), (-2, -1), (-1, 2), (1, -2) \\ (-2, 1) & \rightarrow & (-2, -1), (2, 1), (1, -2), (-1, 2) \\ (1, 2) & \rightarrow& (1, -2), (-1, 2), (2, 1), (-2, -1) \\ (-1, -2) & \rightarrow & (-1, 2), (1, -2), (-2, -1), (2, 1)\end{eqnarray}$$にある。$3$秒後には$$\begin{eqnarray}(2,1) & \rightarrow & \cdots \\ (-2, -1) & \rightarrow & (-2, 1), (2, -1), (-1, 2), (1, 2) \\ (-1, 2) & \rightarrow & (-1, -2), (1, 2), (2, -1), (-2, 1) \\ (1, -2) & \rightarrow & (1, 2), (-1, -2), (-2, 1), (2, -1) \\ (-2, -1) & \rightarrow & (-2, 1), (2, -1), (-1, -2), (1, 2) \\ (2, 1) & \rightarrow & \cdots \\ (1, -2) & \rightarrow & (1, 2), (-1, -2), (-2, 1), (2, -1) \\ (-1, 2) & \rightarrow & (-1, -2), (1, 2), (2, -1), (-2, 1) \\ (1, -2) & \rightarrow & \cdots \\ (-1, 2) & \rightarrow & \cdots \\ (2, 1) & \rightarrow & \cdots \\ (-2, -1) & \rightarrow & \cdots \\ (-1, 2) & \rightarrow & \cdots \\ (1, -2) & \rightarrow & \cdots \\ (-2, -1) & \rightarrow & \cdots \\ (2, 1) & \rightarrow & \cdots \end{eqnarray}$$となる。

解答

$(1)$ 上記から、$P$がとりうる座標は$(\pm 2, \pm 1), (\pm 1, \pm 2)$である。ただし、複号は任意とする。

$(2)$ $n = 1$のとき、最初から$n$秒後に$P$が点$(2, 1)$にいる確率と、点$(-2, -1)$にいる確率はともに$0$である。最初から$n$秒後に点$(a, b)$にいる確率を$p_n((a, b))$とすると、$$p_{n+1}((a, b)) = \frac{1}{3}p_n((a, -b)) + \frac{1}{3}p_n((-a, b)) + \frac{1}{6}p_n((b, a)) + \frac{1}{6}p_n((-b, -a))$$である。この式で$a$を$-a$に、$b$を$-b$に置き換えると、$$p_{n+1}((-a, -b)) = \frac{1}{3}p_n((-a, b)) + \frac{1}{3}p_n((a, -b)) + \frac{1}{6}p_n((-b, -a)) + \frac{1}{6}p_n((b, a))$$となる。したがって、$p_{n+1}(a, b) = p_{n+1}(-a, -b)$となり、最初から$n$秒後に$P$が点$(2, 1)$にいる確率と、最初から$n$秒後に$P$が点$(-2, -1)$にいる確率は等しい。

$(3)$ 点$P$は$1$秒ごとにそれまで自分のいた象限から違う象限に移動するので、$n$が奇数のとき点$P$は第一象限にはいない。$n$が偶数のとき、$n = 2m$と置く。$p_0((2, 1)) = 1$である。$(2)$と同様に、$$\begin{eqnarray}p_{2m+2}((2, 1)) & = & \frac{1}{3}p_{2m+1}((2, -1)) + \frac{1}{3}p_{2m+1}((-2, 1)) + \frac{1}{6}p_{2m+1}((1, 2)) + \frac{1}{6}p_{2m+1}((-1, -2)) \tag{a}\label{a}\end{eqnarray}$$である。さらに、$$\begin{eqnarray}p_{2m+1}((2, -1)) & = & \frac{1}{3}p_{2m}((2, 1)) + \frac{1}{3}p_{2m}((-2, -1)) + \frac{1}{6}p_{2m}((-1, 2)) + \frac{1}{6}p_{2m}((1, -2)) \\ p_{2m+1}((-2, 1)) & = & \frac{1}{3}p_{2m}((-2, -1)) + \frac{1}{3}p_{2m}((2, 1)) + \frac{1}{6}p_{2m}((1, -2)) + \frac{1}{6}p_{2m}((-1, 2)) \\ p_{2m+1}((1, 2)) & = & \frac{1}{3}p_{2m}((1, -2)) + \frac{1}{3}p_{2m}((-1, 2)) + \frac{1}{6}p_{2m}((2, 1)) + \frac{1}{6}p_{2m}((-2, -1)) \\ p_{2m+1}((-1, -2)) & = & \frac{1}{3}p_{2m}((-1, 2)) + \frac{1}{3}p_{2m}((1, -2)) + \frac{1}{6}p_{2m}((-2, -1)) + \frac{1}{6}p_{2m}((2, 1))\end{eqnarray}$$である。これらを\eqref{a}に代入して、さらに$p_n((a, b)) = p_n((-a, -b))$を用いると、$$\begin{eqnarray}p_{2m+2}((2, 1)) & = & \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}p_{2m}((2, 1)) + \frac{1}{3}p_{2m}((-2, -1)) + \frac{1}{6}p_{2m}((-1, 2)) + \frac{1}{6}p_{2m}((1, -2))\right) \\ & & +\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}p_{2m}((-2, -1)) + \frac{1}{3}p_{2m}((2, 1)) + \frac{1}{6}p_{2m}((1, -2)) + \frac{1}{6}p_{2m}((-1, 2))\right) \\ & & + \frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}p_{2m}((1, -2)) + \frac{1}{3}p_{2m}((-1, 2)) + \frac{1}{6}p_{2m}((2, 1)) + \frac{1}{6}p_{2m}((-2, -1))\right) \\ & & + \frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}p_{2m}((-1, 2)) + \frac{1}{3}p_{2m}((1, -2)) + \frac{1}{6}p_{2m}((-2, -1)) + \frac{1}{6}p_{2m}((2, 1))\right) \\ & = & \left(\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36}\right)p_{2m}((2, 1)) \\ & & \left(\frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{18}\right)p_{2m}((-1, 2)) \\ & = & \frac{5}{9}p_{2m}((2, 1)) + \frac{4}{9}p_{2m}((-1, 2)) \tag{b}\label{b}\end{eqnarray}$$である。ここで、$n$が偶数のとき、$p_{n}((1, 2)) = p_{n}((-2, 1)) = p_{n}((-1, -2)) = p_{n}((2, -1)) = 0$であるから、$$\begin{eqnarray}p_{2m}((2, 1)) + p_{2m}((-1, 2)) + p_{2m}((-2, -1)) + p_{2m}((1, -2)) = 1\end{eqnarray}$$である。したがって、$\displaystyle p_{2m}((2, 1)) + p_{2m}((-1, 2)) = \frac{1}{2}$である。\eqref{b}に代入して、$$\begin{eqnarray}p_{2m+2}((2, 1)) & = & \frac{5}{9}p_{2m}((2, 1)) + \frac{4}{9}\left(\frac{1}{2} -p_{2m}((2, 1))\right) \\ & = & \frac{1}{9}p_{2m}((2, 1)) + \frac{2}{9} \\ \iff p_{2m+2}((2, 1))-\frac{1}{4} & = & \frac{1}{9}\left(p_{2m}((2, 1))-\frac{1}{4}\right)\end{eqnarray}$$とある。方針の記載から$\displaystyle p_2((2, 1)) = \frac{5}{18}$であるから、繰り返しこれを用いて、$\displaystyle p_{2m}((2, 1))-\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{9}\right)^{m-1}\left(p_2((2, 1))-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{36}\left(\frac{1}{9}\right)^{m-1} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{2m}$である。よって、$$\underline{ p_n = \begin{cases} 0\ (n\equiv 1 \pmod{2}) \\ \displaystyle \frac{1}{4}\left(1+\left(\frac{1}{3}\right)^n\right) \ (n\equiv 0 \pmod{2})\end{cases}}$$となる。これは$n = 0$でも成り立つ。