[math][東京科学大学]2025年東京科学大学（旧東京工業大学）数学問題1

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問題

関数$f(x)$を$x\geq 0$に対して$f(x) = x\log{(1+x)}$と定める。
$(1)$ 不定積分$\displaystyle \int{x\log{(1+x)}dx}$を求めよ。
$(2)$ $y = f(x)\ (x\geq 0) $の逆関数を$y = g(x)\ (x\geq 0)$とする。また$a, b$を$g(a) = 1, g(b) = 2$となる実数とする。このとき定積分$$I = \int_{a}^{b}{g(x)dx}$$の値を求めよ。
$(3)$ 関数$P(x)$を$x\geq 0$に対して$\displaystyle P(x) = \int_{0}^{x}{\sqrt{1+f(t)}dt}$と定める。このとき$y = P(x)$について、定義域を$x\geq 0$とする逆関数$y = Q(x)$が微分可能であることは証明なしに認めてよい。関数$R(x)$を$x\geq 0$に対して$$R(x) = \int_{0}^{P(x)}{\frac{1}{Q^{\prime}(v)}dv}$$と定めるとき、$R(x)$を求めよ。

方針

誘導に従う。逆関数の積分は、決まったやり方がある。

解答

$(1)$ $$\begin{eqnarray}\int{x\log{(1+x)}dx} & = & \frac{x^2}{2}\log{(1+x)}-\int{\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{1+x}dx} \\ & = & \frac{x^2}{2}\log{(1+x)}-\frac{1}{2}\int{\frac{x(x+1)-x}{1+x}dx} \\ & = & \frac{x^2}{2}\log{(1+x)} -\frac{x^2}{4} + \frac{1}{2}\int{\frac{x}{1+x}dx} \\ & = & \frac{x^2}{2}\log{(1+x)} -\frac{x^2}{4} + \frac{1}{2}\int{\frac{x+1-1}{1+x}dx} \\ & = & \frac{x^2}{2}\log{(1+x)}-\frac{x^2}{4} + \frac{x}{2}-\frac{1}{2}\log{(1+x)} \\ & = & \underline{\frac{x^2-1}{2}\log{(1+x)}-\frac{x^2}{4} + \frac{x}{2}}\end{eqnarray}$$となる。

$(2)$ $x = g(y)$および、$\displaystyle \frac{dy}{dx} = f^{\prime}(x)$であることに注意すると、$$\begin{eqnarray}I & = & \int_{a}^{b}{g(y)dy} \\ & = & \int_{1}^{2}{xf^{\prime}(x)dx} \\ & = & [xf(x)]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}{f(x)dx} \\ & = & [x^2\log{(1+x)}]_{1}^{2}-\left[\frac{x^2-1}{2}\log{(1+x)}-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}\right]_{1}^{2} \\ & = & 4\log{3}-\log{2}-\frac{3}{2}\log{3}+1-1-\frac{1}{4}+\frac{1}{2} \\ & = & \underline{\frac{5}{2}\log{3}-\log{2}+\frac{1}{4}}\end{eqnarray}$$となる。

$(3)$ $x = Q(y), dx = Q^{\prime}(y)dy$、および$\displaystyle \frac{dy}{dx} = P^{\prime}(x)$であることに注意すると、$$\begin{eqnarray}R(x) & = & \int_{0}^{x}{\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dy}{dx}\cdot dx} \\ & = & \int_{0}^{x}{\{P^{\prime}(x)\}^2dx} \\ & = & \int_{0}^{x}{\{1+f(y)\}dy} \\ & = & x + \frac{x^2-1}{2}\log{(1+x)} -\frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} \\ & = & \underline{\frac{x^2-1}{2}\log{(1+x)}-\frac{x^2}{4} + \frac{3}{2}x}\end{eqnarray}$$となる。

解説

$(2)$の積分では、$g(y) = x$と置き換えることで、以下のような操作を行っている（微分係数を文字のように扱っている）。つまり、$g(a)=1, g(b) = 2$であるから、$a = f(1), b = f(2)$となるので、積分を置き換えて、$$\begin{eqnarray}I & = & \int_{a}^{b}{g(y)dy} \\ & = & \int_{a}^{b}{g(y)\cdot \frac{dy}{dx}\cdot dx}\\ & = & \int_{1}^{2}{x\cdot f^{\prime}(x)dx}\end{eqnarray}$$と、$2$行目から$3$行目で$y$の積分を$x$での積分に変換しているわけである。

$(3)$ $P(0) = 0$だから、$Q(0) = 0$で、$y = 0$のとき、$x = Q(y) = 0$であり、また$y = P(x)$のとき、$x = Q(y) = P^{-1}(y) = P^{-1}(P(x)) = x $となる。後は、$(2)$と同様に逆関数の微分の公式を慎重に適応すれば良い。