[math][東京大学][空間ベクトル]2023年東京大学理系数学問題4

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問題

座標空間内の$4$点$O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(1, 1, 1), C(1, 2, 3)$を考える。
$(1)$ $\overrightarrow{OP} \perp \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OP}\perp \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OC} = 1$を満たす点$P$の座標を求めよ。
$(2)$ 点$P$から直線$AB$に垂線を下ろし、その垂線と直線$AB$の交点を$H$とする。$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表わせ。
$(3)$ 点$Q$を$\displaystyle \overrightarrow{OQ} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OP}$により定め、$Q$を中心とする半径$r$の球面$S$を考える。$S$が三角形$OHB$と共有点を持つような$r$の範囲を求めよ。ただし、三角形$OHB$は$3$点$O, H, B$を含む平面内にあり、周とその内部からなるものとする。

方針

$(1)$ $P(x, y, z)$としてみる。

$(2)$ 正射影ベクトルの考え方を用いると良い。

$(3)$ 機械的に解決したい。

解答

$(1)$ $P(x, y, z)$と置くと、$\overrightarrow{OP}\perp \overrightarrow{OA}$より$(x, y, z)^T\cdot (2, 0, 0)^T = 0$であるから、$x = 0$がわかる。また、$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OB} = 0, \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OC} = 1$から、$$\begin{cases}y+z & = & 0\\ 2y+3z & = & 1\end{cases}$$である。これから$y = -1, z = 1$となる。以上から、$\underline{P(0, -1, 1)}$となる。

$(2)$ 正射影ベクトルの考え方から、$$\overrightarrow{AH} = \frac{\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^2}\overrightarrow{AB}$$であるから、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OH} & = & \overrightarrow{OA}+\frac{(-2, 1, -1)^T\cdot (-1, 1, 1)^T}{(\sqrt{3})^2}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\\ & = & \underline{\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}}\end{eqnarray}$$となる。

$(3)$ 三角形$OHB$および内部の点は、$\displaystyle \overrightarrow{OI} = \alpha\overrightarrow{OH} + \beta \overrightarrow{OB}\ \ \alpha\geq 0, \beta\geq 0, 0\leq \alpha + \beta\leq 1$と表すことができる。計算すると、$$\overrightarrow{OI} = \begin{pmatrix}\frac{4}{3}\alpha+\beta\\ \frac{2}{3}\alpha+\beta\\ \frac{2}{3}\alpha+\beta\end{pmatrix}$$また、点$Q$の座標は$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OQ} & = & \frac{3}{4}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OP}\\ & = & \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\ -1\\ 1\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$である。したがって、点$I$と点$Q$との距離を$r$とすると$$\begin{eqnarray}r^2 & = & \left(\frac{4}{3}\alpha+\beta-\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\alpha+\beta+1\right)^2+\left(\frac{2}{3}\alpha+\beta-1\right)^2 \\ & = & \left(\frac{4}{3}\alpha+\beta\right)^2-3\left(\frac{4}{3}\alpha+\beta\right)+2\left(\frac{2}{3}\alpha+\beta\right)^2+\frac{9}{4}+2\\ & = & \frac{8}{3}{\alpha}^2+4\left(-1+\frac{4}{3}\beta\right)\alpha+3{\beta}^2-3\beta+\frac{17}{4}\\ & = & \frac{8}{3}\left(\alpha+\frac{3}{4}\left(-1+\frac{4}{3}\beta\right)\right)^2-\frac{8}{3}\cdot \frac{9}{16}\left(-1+\frac{4}{3}\beta\right)^2+3{\beta}^2-3\beta+\frac{17}{4}\\ & = & \frac{8}{3}\left(\alpha+\beta-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{1}{3}{\beta}^2+\beta+\frac{11}{4}\\ & = & \frac{8}{3}\left(\alpha+\beta-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{1}{3}\left(\beta+\frac{3}{2}\right)^2+2\end{eqnarray}$$となる。$r$が最小になるのは、$\displaystyle \alpha+\beta = \frac{3}{4}, \beta = 0$のときで、このとき$\displaystyle r = \frac{\sqrt{11}}{2}$である。また、$r$が最大になるのは$\alpha+\beta = 0, \beta = 0$あるいは$\alpha+\beta = 1, \beta = 1$のときで、前者のときも後者のときも$\displaystyle r = \frac{\sqrt{17}}{2}$となる。以上より、求める$r$の範囲は$\displaystyle \underline{\frac{\sqrt{11}}{2}\leq r\leq \frac{\sqrt{17}}{2}}$である。

解説

$(2)$ 点$P$から線分$AB$に下ろしたベクトルは、正射影ベクトルと呼ばれる。

正射影ベクトルの求め方であるが、上の図のように$\angle{PAB} = \theta$とすると、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{AH} & = & \frac{|\overrightarrow{AH}|}{|\overrightarrow{AB}|}\overrightarrow{AB}\\ & = & \frac{|\overrightarrow{AH}||\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|^2}\overrightarrow{AB}\\ & = & \frac{|\overrightarrow{AP}|\cos{\theta}\cdot |\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|^2}\overrightarrow{AB}\\ & = & \frac{\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^2}\overrightarrow{AB}\end{eqnarray}$$と求めることができる。この過程も含めて、記憶しておくと良い。

$(3)$ 河合塾の解答が図形的に、出題者の誘導に沿っていてわかりやすい（どうせすぐにリンク切れになるのでリンクは貼らず）。解答では、空間ベクトルの利点を用いて、図形的な考察をほとんどせずに、計算で押し切っている。下記の2000年の医科歯科大学の問題も参照。兎角頭が熱くなりがちな試験場で、このように計算は大変であるが、一本道になる方法を抑えておくと安心材料になる。なお、最後の最大値の候補は$2$つ出てくるが、答えは同じものになる。