[math][京都大学]2024年京都大学理系数学問題2

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2024.03.04

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問題

\(|x| \leq 2\)を満たす複素数\(x\)と、\(|y-(8+6i)| = 3\)を満たす複素数\(y\)に対して、\(\displaystyle z = \frac{x+y}{2}\)とする。このような複素数\(z\)が複素数平面において動く領域を図示し、その面積を求めよ。

方針

\(x\)は原点を中心とする半径\(2\)の円とその内部、\(y\)は\(8+6i\)を中心とする半径\(3\)の円を動く。中心\(x, y\)は独立に動くので、どちらかを固定して、動きを考えれば良い。

解答

\(\displaystyle z = \frac{x}{2} + \frac{y}{2}\)である。\(\displaystyle \frac{x}{2}\)は原点を中心とする半径\(1\)の円とその内部（この円および内部を\(C_1\)とする）、\(\displaystyle \frac{y}{2}\)は\(4 + 3i\)を中心とする半径\(\displaystyle \frac{3}{2}\)の円を動く。この円を\(C_2\)とする。\(y\)を固定して\(x\)を動かすとき、\(z\)は\(C_2\)の円周上の一点を中心として、半径\(1\)の円および内部を動く。\(y\)も動かすと、\(z\)は下図のようにドーナツ型の図形を動く。その面積は、\(\displaystyle \pi\left(\frac{3}{2}+1\right)^2-\pi\left(\frac{3}{2}-1\right)^2 = \underline{6\pi}\)となる。