[math][京都大学]2025年京都大学理系数学問題2

math

2025.03.06

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問題

（35点）
正の整数$x, y, z$を用いて$$N = 9z^2=x^6+y^4$$と表される正の整数$N$の最小値を求めよ。

方針

$3$で割った余りを考える。

解答

$x$か$y$を$3$で割った余りのどちらかが$1$であったとすると、$x^6+y^4$を$3$で割った余りは$0$にならず、$x^6+y^4 = 9z^2$が$3$で割り切れることに矛盾する。したがって、$x$も$y$も$3$で割った余りは$0$である。$x=3a, y = 3b$と置くと、$$9z^2=3^6a^6+3^4b^4$$であるから、$$z^2=3^4a^6+3^2b^4$$である。したがって、$z$も$3$の倍数であるから、$z = 3c$と置くと、$$3^2c^2 = 3^4a^6+3^2b^4$$である。整理して、$$c^2 = 9a^6 + b^4$$である。ただし、$a, b, c$はすべて正の数である。

これから、$c^2$は$3^2$よりも大きい平方数で、$c^2 = 16 \ (c = 4)$となることはない。なぜなら、$a\leq 1$がすぐに分かり、$a = 1$とすると$b^4 = 7$となり、これを満たす$b$は無いからである。$c^2 = 25\ (c = 5)$とすると、$a = 1, b = 2$が$c^2 = 9a^6+b^4$を満たす。したがって、これが最も小さい組で、このとき$N = 9z^2 = 9((3c)^2 = \underline{2025}$となる。