[math]フィボナッチ数(Fibonacci number)の全て

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フィボナッチ数とは

フィボナッチ数とは、次の数列（フィボナッチ数列）によって定められる整数列である。$$a_0 = 0, a_1 = 1$$ $$a_{n+2} = a_{n+1} +a_{n}$$

上の定義から分かる通り、負の整数$n$に対してもフィボナッチ数列を定義することができる。例えば、$n=−1,−2,−3,−4, \cdots$に対して、$a_n=1,−1,2,−3,\cdots$となる。この数列は13世紀イタリアの数学者レオナルド⋅フィボナッチの書「算盤の書」に記述された。下記の性質9, 10, 14は大学入試でもよく出題される。

一般的性質

性質1-数列の基本

フィボナッチ数の最初の$20$項は、$$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765$$となる。

性質2-偶奇数

フィボナッチ数$a_n$は、$n$が$3$の倍数のときに限り、偶数になる。

性質3-負の整数に対して

正整数$n$に対して、$a_{-n}=(−1)^{n+1}a_n$となる。

性質4-黄金比との関連

黄金比$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$を用いると、フィボナッチ数の第$n$項は$a_n=\frac{{\phi}^n−(−\phi)^n}{\sqrt{5}}$と表すことができる。

性質5-黄金比と特性方程式

性質4で現れた$\phi$は、フィボナッチ数列の特性方程式$x^2=x+1$の正の解である。

性質6-近似

$n$が十分に大きいとき、$b_n=\frac{{\phi}^n}{\sqrt{5}}$とすると、$b_n$はフィボナッチ数$a_n$の良い近似を与える。

性質7-より正確な表示

より正確には$a_n=\lfloor\frac{{\phi}^n}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\rfloor$で与えられる。ただし、$\lfloor x\rfloor$は床関数と呼ばれるもので、実数$x$に対して$x$以下の最大の整数を表す。

性質8-極限

$\frac{a_{n+1}}{a_n}$は$n\to \infty$の極限で、黄金比$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$に収束する。

関係式

性質9-大学入試でも頻出の関係式

$(-1)^n = a_{n+1}a_{n-1}-{a_n}^2$が成り立つ。

性質10-性質9の逆

ある数列$c_n$が性質9を満たし、かつ$c_1=c_2=1$であるならば、その数列はフィボナッチ数列になる。

性質11-これも頻出の関係式

${a_n}^2+{a_{n-1}}^2 = a_{2n-1} $が成り立つ。

性質12-離れた項同士の関係式

$a_{n+1}a_{m}+a_na_{m-1} = a_{n+m}$が成り立つ。

性質13-2倍の関係式

$(2a_{n-1}+a_n)a_n = (a_{n-1}+a_n)a_n = a_{2n}$が成り立つ。

性質14-和の関係式

$a_1+a_2+a_3 + \cdots +a_n = a_{n+2}-1$が成り立つ。

性質15-累積和

$a_1 + 2a_2+3a_3 + na_n = na_{n+2}-a_{n+3}+2$が成り立つ。

性質16-二乗和

${a_1}^2 + {a_2}^2 + \cdots + {a_n}^2 = a_na_{n+1}$が成り立つ。

性質17-複雑な関係式

$a_{2n+k} = a_k{a_{n+1}}^2+2a_{k-1}a_na_{n+1}+a_{k-2}{a_n}^2$が成り立つ。

性質18-3倍の関係式

$a_{3n} = 2{a_n}^3 + 3a_{n-1}a_na_{n+1} = 5{a_n}^3 + 3(-1)^na_n$が成り立つ。

性質19-3倍の方程式2

$a_{3n+1} = {a_{n+1}}^3 + 3a_{n+1}{a_n}^2-{a_n}^3$が成り立つ。

性質20-3倍の方程式3

$a_{3n+2} = {a_{n+1}}^3 + 3{a_{n+1}}^2a_n+{a_n}^3$が成り立つ。

性質21-4倍の関係式

$a_{4n} = 4a_na_{n+1}({a_{n+1}}^2+2{a_n}^2)-3{a_n}^2({a_n}^2+2{a_{n+1}}^2)$が成り立つ。

和の性質

性質22-無限級数

$s(x) = \sum_{k=0}^{\infty}{a_{k}x^k}$とおいたとき、$\bar x \bar < \frac{1}{\phi}$においてこの級数は収束し、その和は$s(x) = \frac{x}{1-x-x^2}$になる。

性質23-無限級数2

$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a_n}{10^{(n+1)(k+1)}}} = \frac{1}{10^{2k+2}-10^{k+1}-1}$となる。

性質24-無限級数3

$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a_{k}}{k^n}} = \frac{k}{k^2-k-1}$

性質25-無限級数4

$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{1+a_{2n+1}}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

性質26-無限級数5

$\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{k+1}}{\sum_{j=1}^{k}{{a_j}^2}}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$となる。

性質27-無限級数6

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{a_n}}$は収束し、その値は$3.35988566243\cdots$となる。

整数としてのフィボナッチ数の性質

性質28-互いに素

すべての番号$n$に対して、$a_n$と$a_{n+1}$は互いに素である。

性質29-最大公約数

自然数$m,n$に対して、$m$と$n$の最大公約数を$l$とすると、$a_n$と$a_m$の最大公約数は$a_l$になる。

性質30-4で割った余り

$n$が奇数のとき、$a_n$の奇数の約数は、すべて$4$で割ると$1$余る数である。

性質31-11で割った余り

$\sum_{k=n}^{n+9}{a_k} = 11a_{n+6}$が成り立つ。すなわち、フィボナッチ数列から任意の連続する$9$つの項の和を取り出したとき、その和は$11$で割り切れる。

その他の難しい性質

性質32

$a_{kn+c} = \sum_{i=0}^{k}{_k\mathbb{C}_{i}a_{c-i}{a_n}^i{a_{n+1}}^{k-i}}$が成り立つ。

性質33

$a_n = \frac{1}{2^{n-1}}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor}{5^k _{n}\mathbb{C}_{2k+1}}$

性質34

$a_{n+1} = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}{_{n-k}\mathbb{C}_{k}}$が成り立つ。

性質35

$\phi = 1 + \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}}{a_na_{n+1}}}$

性質36

$\sum_{k=0}^{n}{_{n}\mathbb{C}_k a_k} = a_{2n}$が成り立つ。

性質37

$\sum_{k=0}^{n}{_{n}2^{k}\mathbb{C}_k a_k} = a_{3n}$が成り立つ。

終わりに

その他にもまだまだ驚くほど多くのフィボナッチ数列の関係式、性質は存在する。上の性質のうちいくつかは高校までの範囲で証明でき、余裕がある人は証明にチャレンジしてみると良い。数式の上の性質だけではなく、フィボナッチ数は自然界のあらゆる所で観察される。

出典

http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number