[math]2022年京都大学理系数学問題2

Table of Contents

問題

箱の中に$1$から$n$までの番号がついた$n$枚の札がある。ただし$n\geq 5$とし、同じ番号の札はないとする。この箱から$3$枚の札を同時に取り出し、札の番号を小さい順に$X, Y, Z$とする。このとき、$Y-Z\geq 2$かつ$Z-Y\geq 2$となる確率を求めよ。

方針

$Y$を固定して考えるのが筋であるが、一気に解く方法もある。

解答

全体の事象は$n$枚から$3$枚選ぶ場合の数なので、$_{n}{\mathbb{C}}_{3}$となる。$Y= k$とする。$Y-X\geq 2$かつ$Z-Y\geq 2$となるのは、$3\leq k\leq n-2$のときである。$Y-X\geq 2$となる$X$の選び方は$1, 2, \cdots, k-2$の$k-2$通り、$Z-Y\geq 2$となる$Z$の選び方は$k+2, k+3, \cdots, n$の$n-(k+2)+1 = n-k-1$通りである。したがって、$Y-X\geq 2$かつ$Z-Y\geq 2$となるのは、$(k-2)(n-k-1)$通りである。求める場合の数は、$$\begin{eqnarray}\sum_{k=3}^{n-2}{(k-2)(n-k-1)} & = & \sum_{l=1}^{n-4}{l(n-l-3)}\\ & = & (n-3)\sum_{l=1}^{n-4}{l}-\sum_{l=1}^{n-4}{l^2}\\ & = & (n-3)\cdot \frac{(n-4)(n-3)}{2}-\frac{(n-4)(n-3)(2n-7)}{6}\\ & = & \frac{(n-3)(n-4)}{6}\left(3(n-3)-(2n-7)\right)\\ & = & \frac{(n-4)(n-3)(n-2)}{6}\end{eqnarray}$$となる。求める確率は、$$\begin{eqnarray}\frac{\frac{(n-4)(n-3)(n-2)}{6}}{_{n}{\mathbb{C}}_{3}} & = & \frac{(n-4)(n-3)(n-2)}{6}\cdot \frac{6}{n(n-1)(n-2)}\\ & = &\underline{\frac{(n-4)(n-3)}{n(n-1)}}\end{eqnarray}$$となる。

別解

$Y-X\geq 2$かつ$Z-Y\geq 2$ $\iff$ $Y-1 > X$かつ$Z-2 \geq Y-1$ $\iff$ $1 \leq X < Y-1 < Z-2\leq n-2$である。$1$から$n-2$までの整数から$3$個を選んで、小さい順に$X, Y-1, Z-2$と決めれば良い。求める確率は$$\frac{_{n-2}{\mathbb{C}}_{3}}{_{n}{\mathbb{C}}_{3}} = \underline{\frac{(n-4)(n-3)}{n(n-1)}}$$となる。