[math]1972年京都大学数学問題文理共通理系問題1文系問題1

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問題

2つまたは3つのベクトルの加法について、次の法則が成立する。A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C)いま、n個のベクトルをA1,A2,,Anとし、その順序を任意にかえたものをB1,B2,,Bnとする。上の二つの法則だけを使ってA1+A2++An=B1+B2++Bnが成り立つことを数学的帰納法で示せ。なお、例えば4つのベクトルA,B,C,Dについて、その和A+B+C+D((A+B)+C)+Dを意味するし、一般の場合も同様とする。

方針

解法が指定されているので、従う。

解答

n=kのときに題意が成り立っているものと仮定する。このとき、A1,A2,,Ak+1を任意に並べ替えたB1,B2,,Bk+1に対して(a)A1+A2++Ak+1=B1+B2++Bk+1が成り立つことを示せば良い。仮にAk+1=Bk+1だったとすると、帰納法の仮定からA1+A2++Ak=B1+B2++Bkであるので、式(a)は成立する。そこで、Ak+1Bk+1のときについて考える。このときik+1に対してBi=Ak+1となるものが存在する。さて、B1+B2++Bi+Bi+1++Bk+1=((B1+B1+)+Bi)+(Bi+1++Bk+1)=(B1+B2+)+(Bi+(Bi+1++Bk+1))=(B1+B2+)+((Bi+1++Bk+1)+Bi)である。ここでは帰納法の仮定のみを用いていることに注意する。すなわち、ベクトル(B1+B2+)やベクトルBi+1++Bk+1もまた一つのベクトルであることに注意すると、帰納法の仮定を用いることができる。ここで、Bi=Ak+1であるから、前半と同様に式(a)が成り立つことがわかる。n=2のときは式(a)は成り立つので、数学的帰納法によって題意が成立する。

解説

いかにも京大らしい変わった問題である。べクトルの和はそれ自体がべクトルなので慎重に式を変形していくと題意で与えられた仮定が上手く使えることに気がつく。この問題によってべクトルの和や差は普通の数と同じように計算できることが分かる。問題を良く読むと、べクトルの次元について指定されていない。つまり、2次元でも3次元でも和や差についてべクトルの計算が単純に行えるということである。べクトルは、今まで親しんできた普通の数の概念を拡張し、向きと大きさを持ったものとして定義された。このように、新しく定義されたものがいつもべクトルのように簡単に計算できる訳ではない。例えば、行列A,Bに対して、一般にABBAであり、積について普通の数と同様に扱うことはできない。

関連問題

1970年京都大学理系数学問題3 空間とベクトル
2008年京都大学前期理系乙数学問題3 ベクトルと一次独立

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