[math]1979年京都大学文系数学問題1

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問題

平面上に$6$つの定点$A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$があって、どの$3$点も一直線上にはない。この$6$点のうちから$3$点を任意に選ぶ。選んだ$3$点を頂点とする三角形の重心と、残りの$3$点を頂点とする三角形の重心とを通る直線は、$3$点の選び方に無関係な一定の点を通ることを示せ。

方針

いかにも京大らしい問題である。題意が成り立つような点を一つ見つければ良い。

解答

$A_1, \cdots, A_6$を任意に並び替えたものを$B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$とする。この$6$点はどの$3$点も一直線上にないのだから、任意の$3$点を選ぶと、その$3$点は三角形を作る。任意に選んだ$3$点が$B_1, B_2, B_3$だったとすると、残りの$3$点は$B_4, B_5, B_6$で、各々の三角形の重心は$$\frac{\overrightarrow{OB_1} + \overrightarrow{OB_2} + \overrightarrow{OB_3}}{3}, \frac{\overrightarrow{OB_4} + \overrightarrow{OB_5} + \overrightarrow{OB_6}}{3}$$である。ただし点$O$はこの$6$点以外の任意の点とする。さて、上の二つの重心を通る直線は一般に$$(1-x)\frac{\overrightarrow{OB_1} + \overrightarrow{OB_2} + \overrightarrow{OB_3}}{3} + x\frac{\overrightarrow{OB_4} + \overrightarrow{OB_5} + \overrightarrow{OB_6}}{3}$$と表される。$\displaystyle x = \frac{1}{2}$に対応する点を$P$とすると、$$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OB_1} + \overrightarrow{OB_2} + \overrightarrow{OB_3} + \overrightarrow{OB_4} + \overrightarrow{OB_5} + \overrightarrow{OB_6}}{6}$$で、各ベクトルの係数がすべて等しいので、この点は$B_1, B_2, B_3$のとり方に依らない。すなわち、どのように$3$点をとって三角形を作り、残りの$3$点で三角形を作り、各々の三角形の重心を通る直線を考えても、この直線は上の点$P$を通る。よって題意が成り立つ。