[math]1992年京都大学前期数学文理共通文系数学3理系数学3

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問題

三角形$ABC$の外心$O$から直線$BC, CA, AB$に下ろした垂線の足をそれぞれ$P, Q, R$とするとき、$\overrightarrow{OP} + 2\overrightarrow{OQ} + 3\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{0}$が成立しているとする。
$(1)$ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$の関係式を求めよ。
$(2)$ $\angle{A}$の大きさを求めよ。

方針

たとえば$\overrightarrow{OP}$について、線分$BC$の中点になるから、$\displaystyle \overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2}$となる。$(2)$では係数を眺めて、三平方の定理が思い浮かべば方針が見えてくる。

解答

$(1)$ $\displaystyle \overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2}, \overrightarrow{OQ} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA}}{2}, \overrightarrow{OR} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$であるから、$\overrightarrow{OP} + 2\overrightarrow{OQ} + 3\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{0}$に代入して、$$\frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2} + 2\cdot \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA}}{2} + 3\cdot \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2} = \overrightarrow{0}$$となる。整理して、$\underline{5\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}}$となる。

$(2)$ $(1)$の結果を変形して、$5\overrightarrow{OA} = -(4\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC})$である。両辺の絶対値を取って二乗すると、$$25|\overrightarrow{OA}|^2 = 16|\overrightarrow{OB}|^2 +24\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC} + 9|\overrightarrow{OC}|^2$$である。$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|$に注意すると、$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC} = 0$となるので、$\angle{BOC} = 90^\circ$である。ここで、$\displaystyle \overrightarrow{OA} = -\frac{4\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{5}$であるから、点$A$の位置は下の図のようになる（点$A^{\prime}$の位置にはない）。したがって、円周角の定理から$\displaystyle \angle{A} = \frac{\angle{BOC}}{2} = \underline{45^\circ}$となる。