[math]2016年東京医科歯科大学数学問題3

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問題

関数$f(x) =\langle\langle x\rangle\rangle-2\langle\langle x-1\rangle\rangle+\langle\langle x-2\rangle\rangle$を考える。ここで、実数$u$に対して$\displaystyle \langle\langle u\rangle\rangle = \frac{u+|u|}{2}$とする。このとき以下の問いに答えよ。
$(1)$ $f(x)$のグラフをかけ。
$(2)$ $\displaystyle g(x) = \int_{0}^{1}{f(x-t)dt}$とおくとき、$g(x)$の最大値を求めよ。
$(3)$ $(2)$の$g(x)$に対して、$\displaystyle p(s) = \int_{0}^{3}{(x-s)^2g(x)dx}$とおくとき、$p(s)$の最小値を求めよ。

方針

$\displaystyle \langle\langle u \rangle\rangle = \frac{u+|u|}{2}$なので、$u \geq 0$のときは$\langle\langle u \rangle\rangle = u$、$u < 0$のときは$\langle\langle u \rangle\rangle = 0$となる。

$(3)$ 計算で求めても良いが、対称性を考慮すると楽になる。

解答

$(1)$ $x < 0$のとき、$f(x) = 0$となる。$0\leq x\leq 1$のとき、$f(x) = x$となる。$1<x\leq 2$のとき、$f(x) = x-2(x-1) = -x+2$となる。$2< x$のとき、$f(x) = x-2(x-1)+(x-2) = 0$となる。以上から$y = f(x)$のグラフは以下の図の点線部および$y = 0\ \ (x < 0, x > 2)$となる。

$(2)$ $(1)$から$$f(x) = \begin{cases}0 \ \ (x<0)\\ x\ \ (0\leq x<1)\\ -x+2\ \ (1\leq x < 2)\\ 0 \ \ (x \geq 2)\end{cases}$$となる。$g(x)$の積分で$x-t = v$と置換すると、$$\begin{eqnarray}g(x) & = & \int_{x}^{x-1}{f(v)(-dv)}\\ & = & \int_{x-1}^{x}{f(t)dt}\end{eqnarray}$$となる。積分を面積と考えて、$x-1, x$の値で場合分けする。
$(i)$ $x \leq 0$のとき、$g(x) = 0$となる。
$(ii)$ $x-1\leq 0 \leq x$のとき、$\displaystyle g(x) = \int_{0}^{x}{tdt} = \frac{x^2}{2}$となる。
$(iii)$ $0\leq x-1 \leq 1$のとき、$$\begin{eqnarray}g(x) & = & \int_{x-1}^{1}{tdt} + \int_{1}^{x}{(-t+2)dt}\\ & = & \left[\frac{t^2}{2}\right]_{x-1}^{1} + \left[-\frac{t^2}{2}+2t\right]_{1}^{x}\\ & = & \frac{1}{2}-\frac{(x-1)^2}{2} + \left(-\frac{x^2}{2}+2x\right)-\left(-\frac{1}{2}+2\right) \\ & = & -x^2+3x -\frac{3}{2}\end{eqnarray}$$となる。
$(iv)$ $1\leq x-1\leq 2$のとき、$$\begin{eqnarray} g(x) & = & \int_{x-1}^{2}{(-t+2)dt} \\ & = & \left[-\frac{t^2}{2} + 2t\right]_{x-1}^{2}\\ & = & -2 + 4-\left(-\frac{(x-1)^2}{2}+2(x-1)\right)\\ & = & \frac{x^2}{2}-3x+\frac{9}{2}\end{eqnarray}$$となる。
$(v)$ $1\leq x-1$のとき、$g(x) = 0$となる。

以上から$y = g(x)$の概形は以下の図のようになる。$g(x)$は$\displaystyle x = \frac{3}{2}$のときに最大値$\displaystyle \underline{\frac{3}{4}}$を取る。

$(3)$ $$\begin{eqnarray}p(s) & = & s^2\int{g(x)dx}-2s\int{xg(x)dx}+\int{x^2g(x)dx}\\ & = & \left(\int{g(x)dx}\right)\left(s-\frac{\int{xg(x)dx}}{\int{g(x)dx}}\right)^2 + \cdots\end{eqnarray}$$なので、$p(s)$が最小となるのは$\displaystyle s = \frac{\int{xg(x)dx}}{\int{g(x)dx}}$のときである。これは$g(x)$の重心に他ならない。$(2)$から$$g(x) = \begin{cases}\displaystyle \frac{x^2}{2}\ \ (0\leq x\leq 1)\\ \displaystyle -\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ \ (1\leq x\leq 2)\\ \displaystyle \frac{(x-3)^2}{2}\ \ (2\leq x\leq 3)\end{cases}$$であるから、$y = g(x)$は$\displaystyle x = \frac{3}{2}$に関して対称で、重心は$\displaystyle x = \frac{3}{2}$になる。したがって、$p(s)$の最小値は$$\begin{eqnarray}\int_{0}^{3}{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2g(x)dx} & = & 2\int_{0}^{\frac{3}{2}}{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2g(x)dx}\\ & = & 2\int_{0}^{1}{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2g(x)dx} + 2\int_{1}^{\frac{3}{2}}{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2g(x)dx}\\ & = & 2\int_{0}^{1}{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\frac{x^2}{2}dx} + 2\int_{1}^{\frac{3}{2}}{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\left(-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)dx}\\ & = & \int_{0}^{1}{\left(x^4-3x^3+\frac{9}{4}x^2\right)dx}-2\int_{1}^{\frac{3}{2}}{\left(x-\frac{3}{2}\right)^4dx} + \frac{3}{2}\int_{1}^{\frac{3}{2}}{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2dx}\\ & = & \left[\frac{x^5}{5}-\frac{3}{4}x^4+\frac{3}{4}x^3\right]_{0}^{1} -\frac{2}{5}\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^5\right]_{1}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^3\right]_{1}^{\frac{3}{2}} \\ & = & \underline{\frac{1}{4}}\end{eqnarray}$$となる。

解説

$y = g(x)$は$\displaystyle x = \frac{3}{2}$に対して対称である。さて、$$\begin{eqnarray}\int_{0}^{3}{g(x)dx} & = & 2\int_{0}^{1}{g(x)dx} + 2\int_{1}^{\frac{3}{2}}{g(x)dx}\\ & = & 2\int_{0}^{1}{\frac{x^2}{2}dx} + 2\int_{1}^{\frac{3}{2}}{\left(-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)dx}\\ & = & \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}-\frac{2}{3}\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^3\right]_{1}^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}\left[x\right]_{1}^{\frac{3}{2}}\\ & = & 1\end{eqnarray}$$である。つまり、$y = g(x)$は確率密度関数であると考えることができる。期待値を求めてみよう。$\displaystyle h(x) = \left(x-\frac{3}{2}\right)g(x)$とすると、この関数は点$\displaystyle \left(\frac{3}{2}, 0\right)$を中心にして対称である。つまり、$\displaystyle h(x) = -h(3-x)$を満たす。したがって、$$\begin{eqnarray}\int_{0}^{3}{h(x)} & = & \int_{0}^{3}{\left(x-\frac{3}{2}\right)g(x)dx}\\ & = & 0\end{eqnarray}$$である。これと$\displaystyle \int_{0}^{3}{g(x) dx} = 1$から$$\int_{0}^{1}{xg(x)dx} = \frac{3}{2}$$がわかる。

$(3)$で求めた$p(s)$の最小値は、確率密度関数である$y = g(x)$の分散に他ならない。やっていることは二次のモーメントの計算である。もちろんそのような背景は知らなくても問題を解くことに支障はきたさない。