[math][東京医科歯科大学][空間図形]2018年東京医科歯科大学数学問題2

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問題

$xyz$空間において、連立不等式$|x|\leq 1, |y|\leq 1, |z|\leq 1$の表す領域を$Q$とし、原点$O(0, 0, 0)$を中心とする半径$r$の球面を$S_0$とする。さらに、点$A(1, 1, 1), B(1, -1, -1), C(-1, 1, -1), D(-1, -1, 1)$を中心とし、$S_0$に外接する球面を、それぞれ$S_A, S_B, S_C, S_D$とする。このとき以下の各問いに答えよ。ここで、「球面$X$が球面$Y$に外接する」とは、$X$と$Y$が互いにその外部にあって、$1$点を共有することである。
$(1)$ $S_A$と$S_B$が共有点をもつとき、$r$の最大値$r_1$を求めよ。
$(2)$ $S_0, S_A, S_B, S_C, S_D$およびそれらの内部の領域の和集合と、$Q$との共通部分の体積を$V(r)$とする。区間$r_1\leq r\leq 1$において、$V(r)$が最小となる$r$の値$r_2$を求めよ。ここで$r_1$は$(1)$で求めた値とする。
$(3)$ $S_0$と共有点をもつどんな平面も、$S_A, S_B, S_C, S_D$のいずれかと共有点をもつとき、$r$の最大値$r_3$を求めよ。

方針

$(2)$ $(1)$で求めた$r_1$よりも$r$は大きいので、$S_A, S_B, S_C, S_D$に共通部分はない。

$(3)$ は$(1), (2)$とあまり関係がなく独立した問題である。

解答

$(1)$ $S_A$の半径を$r_A$、$S_B$の半径を$r_B$とする。点$O$と点$A$との距離は$\sqrt{3}$で、点$A$と点$B$との距離は$\sqrt{2}$である。$S_0$と$S_A$は外接し、$S_0$と$S_B$は外接するので、$$\begin{eqnarray}r+r_A & = & \sqrt{3} \\ r+r_B & = & \sqrt{3}\end{eqnarray} \tag{a}\label{a}$$である。また、$S_A$と$S_B$は共有点を持つので、$$r_A + r_B \geq 2\sqrt{2} \tag{b}\label{b}$$である。\eqref{a}, \eqref{b}から、$$\begin{eqnarray}r & = & \sqrt{3}-\frac{r_A+r_B}{2}\\ & \leq & \sqrt{3}-\sqrt{2}\end{eqnarray}$$となる。よって、$\underline{r_1 = \sqrt{3}-\sqrt{2}}$となる。

$(2)$ $(1)$で求めた$r_1$よりも$r$は大きいから、$S_A, S_B, S_C, S_D$に共通部分はない。この$4$つの球の半径は$\displaystyle \sqrt{3}-r$である。例えば$S_A$と$Q$との共通部分の体積は$S_A$の体積の$\displaystyle \frac{1}{8}$となる。したがって、$$\begin{eqnarray}V(r) & = & \frac{4}{3}\pi r^3 + 4\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{4}{3}\pi (\sqrt{3}-r)^3\\ & = & \frac{2}{3}\pi(2r^3+(\sqrt{3}-r)^3)\end{eqnarray}$$となる。したがって、$$\begin{eqnarray}V^{\prime}(r) & = & \frac{2}{3}\pi (6r^2-3(\sqrt{3}-r)^2)\\ & = & 2\pi (r^2+2\sqrt{3}r-3) \\ & = & 2\pi(r-(-\sqrt{3}-\sqrt{6}))(r-(-\sqrt{3}+\sqrt{6}))\end{eqnarray}$$である。増減表は以下のようになる。

\begin{array}{|c|*6{c|}}\hline x & \sqrt{3}-\sqrt{2} & \cdots & -\sqrt{3}+\sqrt{6} & \cdots & 1 \\ \hline V^{\prime}(r) & &- & 0 & + & \\ \hline V(r) & &\searrow & & \nearrow & \\ \hline \end{array}

以上から、$\displaystyle \underline{r_2 = -\sqrt{3}+\sqrt{6}}$となる。

$(3)$ $S_0$と共有点をもつ平面を$\pi: ax+by+cz +d = 0\ (a^2+b^2+c^2\ne 0)$とする。$S_0$の中心である原点と$\pi$との距離は$S_0$の半径よりも小さいから、$$\frac{d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\leq r \tag{c}\label{c}$$である。$S_A, S_B, S_C, S_D$の半径は$\sqrt{3}-r$である。この平面と点$A, B, C, D$との距離はそれぞれ$$\begin{eqnarray}S_A: & & \frac{|a+b+c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} &\leq & \sqrt{3}-r\\ S_B: & & \frac{|a-b-c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} &\leq & \sqrt{3}-r\\ S_C: & & \frac{|-a+b-c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} &\leq & \sqrt{3}-r\\ S_D: & & \frac{|-a-b+c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} &\leq & \sqrt{3}-r \end{eqnarray} \tag{d}\label{d}$$のどれかを満たす必要がある。\eqref{d}がすべて満たされないときの$r$の条件を求める。ここで簡単のため、$$\begin{eqnarray}A & = & \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ B & = & \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ C & = & \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \\ D & = & \frac{d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\end{eqnarray}$$とする。すると、$|A|\leq 1, |B|\leq 1, |C|\leq 1, A^2+B^2+C^2 = 1$で、\eqref{c}, \eqref{d}は$$\begin{eqnarray}|D|\leq r & & \\ \Rightarrow |A+B+C+D|&\leq & \sqrt{3}-r\\ or \ |A-B-C+D| & \leq & \sqrt{3}-r\\ or\ |-A+B-C+D| &\leq & \sqrt{3}-r \\ or\ |-A-B+C+D| & \leq & \sqrt{3}-r\end{eqnarray} \tag{e}\label{e}$$と書き直せる。\eqref{e}の対偶をとると、$$\begin{eqnarray}|A+B+C+D| & > & \sqrt{3}-r \\ and\ |A-B-C+D| & > & \sqrt{3}-r\\ and\ |-A+B-C+D| & > & \sqrt{3}-r\\ and \ |-A-B+C+D| & > & \sqrt{3}-r \\ \Rightarrow |D| > r &&\end{eqnarray}$$である。十分条件を二乗すると、$$\begin{eqnarray} (A+B+C)^2+2(A+B+C)D + D^2 & > & (\sqrt{3}-r)^2 \\ and\ (A-B-C)^2 +2(A-B-C)D + D^2 & > & (\sqrt{3}-r)^2 \\ and\ (-A+B-C)^2+2(-A+B-C)D+D^2 & > & (\sqrt{3}-r)^2 \\ and\ (-A-B+C)^2+2(-A-B+C)D+D^2 & > & (\sqrt{3}-r)^2 \\ \Rightarrow |D| > r\end{eqnarray} \tag{f}\label{f}$$である。\eqref{f}の十分条件をすべて足すと、$A^2+B^2+C^2=1$に注意して、打ち消し合って$$1 + D^2 > (\sqrt{3}-r)^2 \Rightarrow |D| > r$$となる。これは$$(\sqrt{3}-r)^2-1 \geq r^2$$と同値である。整理すると、$\displaystyle r \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$を得る。したがって、$\displaystyle \underline{r_3 =\frac{1}{\sqrt{3}}}$とすれば、\eqref{c}のとき\eqref{d}のいずれかが成り立つ。

解説

$(3)$ $(1), (2)$の流れで図形的に解決したいところではあるが、色々なケースが考えられ難しい。解答のように式で処理するのがシンプルである。条件$(d)$のどれかが一つ成り立つ必要があるが、そのままでは考えにくいので、対偶を考える。すなわち、条件$(d)$をすべて満たさないような$r$の範囲を考える。