[math][東京医科歯科大学][空間図形]2018年東京医科歯科大学数学問題2

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問題

$x y z$ 空間において、連立不等式 $| x | \leq 1, | y | \leq 1, | z | \leq 1$ の表す領域を $Q$ とし、原点 $O (0, 0, 0)$ を中心とする半径 $r$ の球面を $S_{0}$ とする。さらに、点 $A (1, 1, 1), B (1, - 1, - 1), C (- 1, 1, - 1), D (- 1, - 1, 1)$ を中心とし、 $S_{0}$ に外接する球面を、それぞれ $S_{A}, S_{B}, S_{C}, S_{D}$ とする。このとき以下の各問いに答えよ。ここで、「球面 $X$ が球面 $Y$ に外接する」とは、 $X$ と $Y$ が互いにその外部にあって、 $1$ 点を共有することである。
$(1)$ $S_{A}$ と $S_{B}$ が共有点をもつとき、 $r$ の最大値 $r_{1}$ を求めよ。
$(2)$ $S_{0}, S_{A}, S_{B}, S_{C}, S_{D}$ およびそれらの内部の領域の和集合と、 $Q$ との共通部分の体積を $V (r)$ とする。区間 $r_{1} \leq r \leq 1$ において、 $V (r)$ が最小となる $r$ の値 $r_{2}$ を求めよ。ここで $r_{1}$ は $(1)$ で求めた値とする。
$(3)$ $S_{0}$ と共有点をもつどんな平面も、 $S_{A}, S_{B}, S_{C}, S_{D}$ のいずれかと共有点をもつとき、 $r$ の最大値 $r_{3}$ を求めよ。

方針

$(2)$ $(1)$ で求めた $r_{1}$ よりも $r$ は大きいので、 $S_{A}, S_{B}, S_{C}, S_{D}$ に共通部分はない。

$(3)$ は $(1), (2)$ とあまり関係がなく独立した問題である。

解答

$(1)$ $S_{A}$ の半径を $r_{A}$ 、 $S_{B}$ の半径を $r_{B}$ とする。点 $O$ と点 $A$ との距離は $\sqrt{3}$ で、点 $A$ と点 $B$ との距離は $\sqrt{2}$ である。 $S_{0}$ と $S_{A}$ は外接し、 $S_{0}$ と $S_{B}$ は外接するので、 $\begin{matrix} (a) & \begin{array}{rcl} r + r_{A} & = & \sqrt{3} \\ r + r_{B} & = & \sqrt{3} \end{array} \end{matrix}$ である。また、 $S_{A}$ と $S_{B}$ は共有点を持つので、 $\begin{matrix} (b) & r_{A} + r_{B} \geq 2 \sqrt{2} \end{matrix}$ である。 $(a)$ , $(b)$ から、 $\begin{array}{rcl} r & = & \sqrt{3} - \frac{r_{A} + r_{B}}{2} \\ \leq & \sqrt{3} - \sqrt{2} \end{array}$ となる。よって、 $\underset{―}{r_{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}}$ となる。

$(2)$ $(1)$ で求めた $r_{1}$ よりも $r$ は大きいから、 $S_{A}, S_{B}, S_{C}, S_{D}$ に共通部分はない。この $4$ つの球の半径は $\sqrt{3} - r$ である。例えば $S_{A}$ と $Q$ との共通部分の体積は $S_{A}$ の体積の $\frac{1}{8}$ となる。したがって、 $\begin{array}{rcl} V (r) & = & \frac{4}{3} π r^{3} + 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3} π (\sqrt{3} - r)^{3} \\ = & \frac{2}{3} π (2 r^{3} + (\sqrt{3} - r)^{3}) \end{array}$ となる。したがって、 $\begin{array}{rcl} V^{'} (r) & = & \frac{2}{3} π (6 r^{2} - 3 (\sqrt{3} - r)^{2}) \\ = & 2 π (r^{2} + 2 \sqrt{3} r - 3) \\ = & 2 π (r - (- \sqrt{3} - \sqrt{6})) (r - (- \sqrt{3} + \sqrt{6})) \end{array}$ である。増減表は以下のようになる。

$\begin{array}{cc} x & \sqrt{3} - \sqrt{2} & \dots & - \sqrt{3} + \sqrt{6} & \dots & 1 \\ V^{'} (r) & - & 0 & + \\ V (r) & ↘ & ↗ \end{array}$

以上から、 $\underset{―}{r_{2} = - \sqrt{3} + \sqrt{6}}$ となる。

$(3)$ $S_{0}$ と共有点をもつ平面を $π : a x + b y + c z + d = 0 (a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0)$ とする。 $S_{0}$ の中心である原点と $π$ との距離は $S_{0}$ の半径よりも小さいから、 $\begin{matrix} (c) & \frac{d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \leq r \end{matrix}$ である。 $S_{A}, S_{B}, S_{C}, S_{D}$ の半径は $\sqrt{3} - r$ である。この平面と点 $A, B, C, D$ との距離はそれぞれ $\begin{matrix} (d) & \begin{array}{rclrc} S_{A} : & \frac{| a + b + c + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} & \leq & \sqrt{3} - r \\ S_{B} : & \frac{| a - b - c + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} & \leq & \sqrt{3} - r \\ S_{C} : & \frac{| - a + b - c + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} & \leq & \sqrt{3} - r \\ S_{D} : & \frac{| - a - b + c + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} & \leq & \sqrt{3} - r \end{array} \end{matrix}$ のどれかを満たす必要がある。 $(d)$ がすべて満たされないときの $r$ の条件を求める。ここで簡単のため、 $\begin{array}{rcl} A & = & \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \\ B & = & \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \\ C & = & \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \\ D & = & \frac{d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \end{array}$ とする。すると、 $| A | \leq 1, | B | \leq 1, | C | \leq 1, A^{2} + B^{2} + C^{2} = 1$ で、 $(c)$ , $(d)$ は $\begin{matrix} (e) & \begin{array}{rcl} | D | \leq r \\ \Rightarrow | A + B + C + D | & \leq & \sqrt{3} - r \\ o r | A - B - C + D | & \leq & \sqrt{3} - r \\ o r | - A + B - C + D | & \leq & \sqrt{3} - r \\ o r | - A - B + C + D | & \leq & \sqrt{3} - r \end{array} \end{matrix}$ と書き直せる。 $(e)$ の対偶をとると、 $\begin{array}{rcl} | A + B + C + D | & > & \sqrt{3} - r \\ a n d | A - B - C + D | & > & \sqrt{3} - r \\ a n d | - A + B - C + D | & > & \sqrt{3} - r \\ a n d | - A - B + C + D | & > & \sqrt{3} - r \\ \Rightarrow | D | > r \end{array}$ である。十分条件を二乗すると、 $\begin{matrix} (f) & \begin{array}{rcl} (A + B + C)^{2} + 2 (A + B + C) D + D^{2} & > & (\sqrt{3} - r)^{2} \\ a n d (A - B - C)^{2} + 2 (A - B - C) D + D^{2} & > & (\sqrt{3} - r)^{2} \\ a n d (- A + B - C)^{2} + 2 (- A + B - C) D + D^{2} & > & (\sqrt{3} - r)^{2} \\ a n d (- A - B + C)^{2} + 2 (- A - B + C) D + D^{2} & > & (\sqrt{3} - r)^{2} \\ \Rightarrow | D | > r \end{array} \end{matrix}$ である。 $(f)$ の十分条件をすべて足すと、 $A^{2} + B^{2} + C^{2} = 1$ に注意して、打ち消し合って $1 + D^{2} > (\sqrt{3} - r)^{2} \Rightarrow | D | > r$ となる。これは $(\sqrt{3} - r)^{2} - 1 \geq r^{2}$ と同値である。整理すると、 $r \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$ を得る。したがって、 $\underset{―}{r_{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}}$ とすれば、 $(c)$ のとき $(d)$ のいずれかが成り立つ。

解説

$(3)$ $(1), (2)$ の流れで図形的に解決したいところではあるが、色々なケースが考えられ難しい。解答のように式で処理するのがシンプルである。条件 $(d)$ のどれかが一つ成り立つ必要があるが、そのままでは考えにくいので、対偶を考える。すなわち、条件 $(d)$ をすべて満たさないような $r$ の範囲を考える。