[math][東京医科歯科大学][ベクトル]1997年東京医科歯科大学数学問題2

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問題

四面体$OABC$の辺$OA, BC$上にそれぞれ点$D, E$をとる。ただし点$D$は点$A, O$とは異なり、$AE$と$BD$の交点$F$は線分$AE, BD$をそれぞれ$2:1, 3:1$に内分している。また辺$BC$を$t:1\ \ (t > 0)$に内分する点$P$をとり、$CE$と$OP$の交点を$Q$とする。このとき次の問いに答えよ。
$(1)$ $\overrightarrow{OF}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表わせ。
$(2)$ $\overrightarrow{OQ}$を$\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$および$t$を用いて表わせ。
$(3)$ 直線$FQ$と平面$ABC$が平行になるような$t$の値を求めよ。

方針

ベクトルの標準的な問題である。

解答

$(1)$ 点$D, E$はそれぞれ辺$OA, OB$上にあるので、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OD} & = & k\overrightarrow{OA}\\ \overrightarrow{OE} & = & l\overrightarrow{OB}\end{eqnarray}$$と置ける。$\overrightarrow{OF}$を$2$通りに表す。

図から、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OF} & = & \overrightarrow{OD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{DB}\\ & = & k\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}(\overrightarrow{OB}-k\overrightarrow{OA})\\ & = & \frac{3}{4}k\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB}\end{eqnarray}$$であり、また$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OF} & = & \overrightarrow{OE} + \frac{1}{3}\overrightarrow{EA}\\ & = & l\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}-l\overrightarrow{OB})\\ & = & \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}l\overrightarrow{OB}\end{eqnarray}$$である。係数を比較して、$$\begin{cases}\displaystyle \frac{3}{4}k = \frac{1}{3}\\ \displaystyle \frac{l}{4} = \frac{2}{3}l\end{cases}$$となる。これを解くと、$\displaystyle k = \frac{4}{9}, l = \frac{3}{8}$である。以上から、$\displaystyle \underline{\overrightarrow{OF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB}}$となる。

$(2)$ $(1)$から$\displaystyle \overrightarrow{OE} = \frac{3}{8}\overrightarrow{OB}$である。下の図から、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OQ} & = & m\overrightarrow{OP}\\ & = & m\left(\frac{1}{t+1}\overrightarrow{OB} + \frac{t}{t+1}\overrightarrow{OC}\right)\end{eqnarray}$$である。

これを変形すると、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OQ} & = & \frac{8m}{3(t+1)}\cdot \frac{3}{8}\overrightarrow{OB} + \frac{mt}{t+1}\overrightarrow{OC}\\ & = & \frac{8m}{3(t+1)}\overrightarrow{OE} + \frac{mt}{t+1}\overrightarrow{OC}\end{eqnarray}$$である。点$Q$は線分$CE$上にあるから、$$\frac{8m}{3(t+1)}+\frac{mt}{t+1} = 1$$である。よって$\displaystyle m = \frac{3(t+1)}{3t+8}$となる。これを代入して、$\displaystyle \underline{\overrightarrow{OQ} = \frac{3}{3t+8}\overrightarrow{OB} + \frac{3t}{3t+8}\overrightarrow{OC}}$であることがわかる。

$(3)$ $\overrightarrow{OF}$と辺$AB$との交点を$G$とする。$\overrightarrow{OG} = m\overrightarrow{OF}$とすると、$$\overrightarrow{OG} = \frac{k}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{k}{4}\overrightarrow{OB}$$である。点$G$は辺$AB$上にあるから、$$\frac{k}{3} + \frac{k}{4} = 1$$である。よって、$\displaystyle k = \frac{12}{7}$で、$$\overrightarrow{OG} = \frac{4}{7}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{7}\overrightarrow{OB}$$である。直線$FQ$と平面$ABC$が平行なとき、$\displaystyle k\overrightarrow{OQ} = \frac{12}{7}\overrightarrow{OQ}$は辺$BC$上にある。$(2)$の結果から、$$\frac{12}{7}\left(\frac{3}{3t+8}+\frac{3t}{3t+8}\right) = 1$$となる。よって、$\displaystyle \underline{t = \frac{4}{3}}$となる。

解説

$(1)$ $2$通りに表し、係数比較する。

$(2)$ これも$(1)$と同じである点$Q$が辺$CE$上にあることをうまく利用する。

$(3)$ 平行という条件を捉えるのに巧妙な考え方を持ち出す必要はない。$\overrightarrow{OQ}$が平面$ABC$と交わる点が$P$なので、$\overrightarrow{OF}$が平面$ABC$と交わる点も考えてみる。そのような点を$G$とすると、直線$FQ$が平面$ABC$と平行なとき、三角形$OFQ$と$OGP$は相似になる。平行という条件を捉えるのがやや難しいが、色々な手法があると考えられるので、研究してみると良いだろう。