[math]一般線形群の位数

math

2021.10.14

【定理】$p$を素数とし、有限体$\mathbb{F}_p := \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$とする。$GL_n(\mathbb{F}_p)$を、$\mathbb{F}_p$の元を成分に持つ$n$次正則行列がなす群とする。この時、$$|GL_n(\mathbb{F}_p)| = (p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)\cdots (p^n-p^{n-1}) = p^{\frac{n(n-1)}{2}}\Pi_{k=1}^{n}{(p^k-1)}$$となる。

【証明】$n$次正方行列を$n$個の縦ベクトルと考えると、$1$列目は$p^n$個のベクトルができるが、全てが$0$になるものは除くので$p^n-1$通り、$2$列目は同様に$p^n$通りのベクトルができるが、$1$列目（$v_1$とする）に対して$k_1v_1\ (k_1=0, \ 1,\ 2,\ \cdots,\ p-1)$は除くので、$p^n-p$通りとなる。$3$列目は、（$2$列目を$v_2$とすると）同様に$p^n$通りのベクトルから$k_1v_1+k_2v_2\ ((k_1, k_2) = (0, 0), \cdots, (p-1, p-1))$の$p^2$通りを除いて、$p^n-p^2$通りとなる。
これを繰り返すと、上記の式を得る。