math

問題 \(n\)を自然数とする。\(3\)つの整数\(n^2+2, n^4+2, n^6+2\)の最大公約数\(A_n\)を求めよ。 方針 \(n^6\)は急速に大きくなるので、実験もしにくい。Euclidの互除法を用い...

問題 曲線\(\displaystyle C: y = \cos^3{x} \ \ \left(0\leq x\leq \frac{\pi}{2}\right)\)、\(x\)軸および\(y\)軸で囲まれる図形の面積を\(S\)とす...

問題 \(5.4<\log_{4}{2022} < 5.5\)であることを示せ。ただし、\(0.301<\log_{10}{2}<0.3011\)であることは用いてもよい。 方針 近年の京都大学の...

問題 座標空間内の点\(A(0, 0, 2)\)と点\(B(1, 0, 1)\)を結ぶ線分\(AB\)を\(z\)軸のまわりに\(1\)回転させて得られる曲面を\(S\)とする。\(S\)上の点\(P\)と\(xy\)平面上の点\(...

問題 次の関数\(f(x)\)を考える。$$f(x) = (\cos{x})\log{(\cos{x})}-\cos{x}+\int_{0}^{x}{(\cos{t})\log{(\cos{t})}dt}\ \ \ \left(0\...

問題 行列\(A = \begin{pmatrix}\displaystyle\frac{1}{3} & 5 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\)に対し、次の問いに答えよ。任意の整数\(n > 0\)に対し...

問題 数の集合\(A\)に関する以下の諸条件を考える。ただし、\(n, k\)は\(n\geq k\geq 0\)を満たす整数とし、\(x, y\)は任意の数とする。条件\(Z:\) \(x\)が\(A\)の要素ならば\(x\)は整...

問題 \(n\)を正の整数とする。連立不等式$$\begin{cases}x+y+z\leq n \\ -x+y-z\leq n \\ x-y-z\leq n\\ -x-y+z\leq n\end{cases}$$をみたす\(xyz...

問題 長さ\(l\)の線分が、その両端を放物線\(y=x^2\)の上にのせて動く。この線分の中点\(M\)が\(x\)軸に最も近い場合の\(M\)の座標を求めよ。ただし、\(l\geq 1\)とする。 方針 座標を置いて...