math [math]1989年京都大学理系数学問題2
問題
\(n\)個\((n\geq 3)\)の実数\(a_1, a_2, \cdots, a_n\)があり、各\(a_i\)は他の\(n-1\)個の相加平均より大きくはないという。このような\(a_1, a_2, \cdots, a...
math math [math]1991年東京医科歯科大学前期数学問題1
問題
\((1)\) \((b-a)(b+a) = 9\)を満たす整数\(a, b\)の組\((a, b)\)をすべて求めよ。\((2)\) \(\sqrt{c^2+72}\)が整数となるような整数\(c\)をすべて求めよ。\((3...
math [math]1998年東京大学前期数学問題1
問題
\(a\)は\(0\)でない実数とする。関数$$f(x) = (3x^2-4)\left(x-a+\frac{1}{a}\right)$$の極大値と極小値の差が最小となる\(a\)を求めよ。
方針
そのまま代入して...
math [math]1999年東京大学前期理系数学問題6
問題
\(\displaystyle{\int_{0}^{\pi}{e^x\sin^2{x}dx} > 8}\)であることを示せ。ただし\(\displaystyle{\pi = 3.14\cdots}\)は円周率、\(\di...
math [math]1989年京都大学理系後期数学理学部専用問題
問題
\(2\)次方程式\(ax^2-bx+3c=0\)において、\(a, b, c\)は\(1\)桁の自然数であり、二つの解\(\alpha, \beta\)は\(1<\alpha<2, 5<\beta<6...
math [math]2000年京都大学後期理系数学問題3
問題
\(x, y\)平面上の点で\(x\)座標、\(y\)座標がともに整数である点を格子点という。\(a, k\)は整数で\(a\geq 2\)とし、直線\(L: ax + (a^2+1)y = k\)を考える。\((1)\) 直...
math [math]2006年度前期東京大学数学問題5
問題
\(a_1 = \frac{1}{2}\)とし、数列\(\{a_n\}\)を漸化式$$a_{n+1} = \frac{a_{n}}{(1+a_n)^2}\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$$によって定める。このと...
math [math]1994年京都大学後期数学文理共通問題1
問題
\(a+b+c = 0\)を満たす実数\(a, b, c\)について、\((\mid a \mid + \mid b\mid + \mid c \mid)^2\geq 2(a^2+b^2+c^2)\)が成り立つことを示せ。また...
math [math]1988年京都大学文系B日程問題1
問題
\(0<x<1\)に対して、\(\displaystyle{\frac{1-x^3}{3} > \frac{1-x^2}{2}\sqrt{x}}\)が成り立つことを証明せよ。
方針
\(\sqrt{x}...
math [math]1984年東京大学理系数学問題3
問題
\(2\)以上の自然数\(k\)に対して$$f_k(x) = x^k-kx+k-1$$とおく。このとき、次のことを証明せよ。\((1)\) \(n\)次多項式\(g(x)\)が\((x-1)^2\)で割り切れるためには、\(g...