math [math]2022年京都大学理系数学問題6
問題
数列\(\{x_n\}, \{y_n\}\)を次の式$$\begin{eqnarray}x_1 = 0, x_{n+1} = x_n+n+2\cos{\left(\frac{2\pi x_n}{3}\right)}\ \ \ ...
数学的帰納法
math 
math [math]1993年東京工業大学前期数学問題4
問題
\(n\)を自然数、\(P(x)\)を\(n\)次の多項式とする。\(P(0), P(1), \cdots, P(n)\)が整数ならば、すべての整数\(k\)に対して、\(P(k)\)は整数であることを証明せよ。
方針
...
math [math]2017年東京大学文理共通文系問題4理系数学問題4
問題
\(p = 2 + \sqrt{5}\)とおき、自然数\(n = 1, 2, 3, \cdots\)に対して$$a_n = p^n + \left(-\frac{1}{p}\right)^n$$と定める。以下の問に答えよ。ただ...
math [math]1984年東京大学理系数学問題3
問題
\(2\)以上の自然数\(k\)に対して$$f_k(x) = x^k-kx+k-1$$とおく。このとき、次のことを証明せよ。\((1)\) \(n\)次多項式\(g(x)\)が\((x-1)^2\)で割り切れるためには、\(g...
math [math]1986年東京工業大学数学問題1
問題
整数\(a_n = 19^n + (-1)^{n-1}2^{4n-3} (n = 1, 2, 3, \cdots)\)のすべてを割り切る素数を求めよ。
方針
小さい\(n\)で実験してみると、答えはすぐに分かる。
...
math [math]1996年京都大学理系後期数学問題1
問題
\(n\)を自然数とする。\((1)\) すべての実数\(\theta\)に対し$$\cos{n\theta} = f_n(\cos{\theta}), \sin{n\theta} = g_n(\cos{\theta})\si...