数学

問題 三角形\(ABC\)と点\(P\)に対して、次の\(2\)つの条件は同値であることを証明せよ。\((i)\) 点\(P\)は三角形\(ABC\)の内部（周は除く）にある。\((ii)\) 正の数\(a, b, c\)があって、...

問題 正三角形\(ABC\)の辺\(AB\)上に点\(P_1, P_2\)が、辺\(BC\)上に点\(Q_1, Q_2\)が、辺\(CA\)上に点\(R_1, R_2\)があり、どの点も頂点に一致していないとする。このとき三角形\(...

問題 四面体\(OABC\)は次の\(2\)つの条件\((i)\) \(OA \perp BC, OB\perp AC, OC\perp AB\)\((ii)\) \(4\)つの面の面積がすべて等しいをみたしている。このとき、この四...

問題 四角形\(ABCD\)を底面とする四角錐\(OABCD\)は\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{O...

問題 半径\(1\)の円周上に相異なる\(3\)点\(A, B, C\)がある。\((1)\) \(AB^2 + BC^2 + CA^2 > 8\)ならば三角形\(ABC\)は鋭角三角形であることを示せ。\((2)\) \(AB^2...

問題 平面上のベクトル\(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\)について、$$|\overrightarrow{u}| = 1, |\overrightarrow{u} + 3\overri...

問題 \(xyz\)空間内の正八面体の頂点\(P_1, P_2, \cdots, P_6\)とベクトル\(\overrightarrow{v}\)に対し、\(k\ne m\)のとき\(\overrightarrow{P_kP_m}\...

問題 \(\displaystyle \overrightarrow{a} = (1, 0, 0), \overrightarrow{b} = \left(\cos{\frac{\pi}{3}, \sin{\frac{\pi}{3}...

問題 点\(O\)を中心とする円に内接する\(\triangle{ABC}\)の\(3\)辺\(AB, BC, CA\)をそれぞれ\(2:3\)に内分するような点を\(P, Q, R\)とする。\(\triangle{PQR}\)の...

問題 三角形\(ABC\)の内心を\(P\)とする。\(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}\)が成り立って...