理系

問題 座標空間内に\(3\)点\(A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)\)をとり、\(D\)を線分\(AC\)の中点とする。三角形\(ABD\)の周および内部を\(x\)軸のまわりに\(1\)回転させ...

問題 \(xy\)平面上に、点\(A(a, 0), B(0, b), C(-a, 0)\)（ただし\(0<a<b\)）をとる。点\(A, B\)を通る直線を\(l\)とし、点\(C\)を通り線分\(BC\)に垂直な直線を...

問題 \(n\)を正の整数とし、\(C_1, \cdots C_n\)を\(n\)枚の硬貨とする。各\(k = 1, \cdots, n\)に対し、硬貨\(C_k\)を投げて表が出る確率を\(p_k\)、裏が出る確率を\(1-p_k...

問題 \(xy\)平面上の曲線\(\displaystyle y = \frac{1}{2}x^2\)に、点\(\displaystyle \left(a, \frac{1}{2}a^2\right)\ (a > 0)\)で接する円...

問題 \(\displaystyle f(x) = -\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+4\sqrt{2}\)とおく。\(0 < t < 4\)を満たす実数\(t\)に対し、座標平面上の点\((t, f(t))...

問題 座標平面上を次の規則(i), (ii)に従って\(1\)秒ごとに動く点\(P\)を考える。(i) 最初に、\(P\)は点\((2, 1)\)にいる。(ii) ある時刻で\(P\)が点\((a, b)\)にいるとき、その\(1\...

問題 座標空間内の点\(A\ (0, -1, 1)\)をとる。\(xy\)平面上の点\(P\)が次の条件(i), (ii), (iii)をすべて満たすとする。\(\ \ \ (i)\) \(P\)は原点\(O\)と異なる。\(\ \...

問題 \(n\)個の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を\(p_n\)とする。次の問いに答えよ。\((1)\) \(...

問題 \(|x| \leq 2\)を満たす複素数\(x\)と、\(|y-(8+6i)| = 3\)を満たす複素数\(y\)に対して、\(\displaystyle z = \frac{x+y}{2}\)とする。このような複素数\(z...

問題 整数の組\((a, b)\)に対して\(2\)次式\(f(x) = x^2+ax+b\)を考える。方程式\(f(x) = 0\)の複素数の範囲のすべての解\(\alpha\)に対して\({\alpha}^n = 1\)となる正...