理系

問題 整数の組\((a, b)\)に対して\(2\)次式\(f(x) = x^2+ax+b\)を考える。方程式\(f(x) = 0\)の複素数の範囲のすべての解\(\alpha\)に対して\({\alpha}^n = 1\)となる正...

問題 自然数\(k\)に対して、\(a_k = 2^{\sqrt{k}}\)とする。\(n\)を自然数とし、\(a_k\)の整数部分が\(n\)桁であるような\(k\)の個数を\(N_n\)とする。また、\(a_k\)の整数部分が\...

問題 次の関数\(f(x)\)を考える。$$f(x) = \int_{0}^{1}{\frac{|t-x|}{1+t^2}dt}\ (0\leq x\leq 1)$$\((1)\) \(\displaystyle 0 < \a...

問題 座標空間の\(4\)店\(O, A, B, C\)は同一平面上にないとする。線分\(OA\)の中点を\(P\)、線分\(AB\)の中点を\(Q\)とする。実数\(x, y\)に対して、直線\(OC\)上の点\(X\)と、直線\...

問題 実数全体を定義域にもつ微分可能な関数\(f(t), g(t)\)が次の\(6\)つの条件を満たしているとする。$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(t) = -f(t)g(t),\ g^{\prime}(t...

問題 \(a\)は\(a\geq 1\)を満たす定数とする。座標平面上で、次の\(4\)つの不等式が表す領域を\(D_a\)とする。$$x\geq0,\ \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\leq y,\ y\leq \f...

問題 \(2\)以上の整数で、\(1\)とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という。以下の問いに答えよ。\((1)\) \(f(x) = x^3+10x^2+20x\)とする。\(f(n)\)が整数になるような整数\(n\)を...

問題 \(t\)を実数とする。投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ\(\displaystyle \frac{1}{2}\)であるコインを\(10\)回投げて、座標空間の点\(P_0, P_1, P_2, \cdots, P_{10...

問題 座標平面上の円\(D_1: x^2+y^2 = 64\)と円\(D_2: x^2+(y-4)^2 = 9\)に関して、以下の設問に答えよ。\((1)\) 座標平面上の\(3\)点\((0, 8), (3\sqrt{7}, 1)...