[math][京都大学]2025年京都大学理系数学問題2

問題

（35点）
正の整数$x,y,z$を用いて$$N=9z^2=x^6+y^4$$と表される正の整数$N$の最小値を求めよ。

方針

$3$で割った余りを考える。

解答

$x$か$y$を$3$で割った余りのどちらかが$1$であったとすると、$x^6+y^4$を$3$で割った余りは$0$にならず、$x^6+y^4=9z^2$が$3$で割り切れることに矛盾する。したがって、$x$も$y$も$3$で割った余りは$0$である。$x=3a,y=3b$と置くと、$$9z^2=3^6{a}^6+3^4{b}^4$$であるから、$$z^2=3^4{a}^6+3^2{b}^4$$である。したがって、$z$も$3$の倍数であるから、$z=3c$と置くと、$$3^2{c}^2=3^4{a}^6+3^2{b}^4$$である。整理して、$$c^2=9a^6+b^4$$である。ただし、$a,b,c$はすべて正の数である。

これから、$c^2$は$3^2$よりも大きい平方数で、$c^2=16(c=4)$となることはない。なぜなら、$a\le 1$がすぐに分かり、$a=1$とすると$b^4=7$となり、これを満たす$b$は無いからである。$c^2=25(c=5)$とすると、$a=1,b=2$が$c^2=9a^6+b^4$を満たす。したがって、これが最も小さい組で、このとき$N=9z^2=9((3c{)}^2=\underset{―}{2025}$となる。

解説

剰余を考えるのが簡単である。

関連問題

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