[math]2022年東京大学理系数学問題4

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問題

座標平面上の曲線$$C: y = x^3-x$$を考える。
$(1)$ 座標平面上のすべての点$P$が次の条件$(i)$を満たすことを示せ。
$\ \ \ (i)$ 点$P$を通る直線$l$で、曲線$C$と相異なる$3$点で交わるものが存在する。
$(2)$ 次の条件$(ii)$を満たす点$P$のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
$\ \ \ (ii)$ 点$P$を通る直線$l$で、曲線$C$と相異なる$3$点で交わり、かつ、直線$l$と曲線$C$で囲まれた$2$つの部分の面積が等しくなるものが存在する。

方針

$(1)$ 図で考えると漏れが出そうなので、式で示すのが良いだろう。

$(2)$ $l$は変曲点を通るに決まっていると思えるかどうかで方針が決まってくる。

解答

$(1)$ $xy$平面上の任意の点$P$を$P(p, q)$として、点$P$を通る直線の傾きを$s$とすると、直線の方程式は$y = s(x-p) +q$となる。$$x^3-x = s(x-p) + q$$が$p, q$の値によらず、適当な$s$を取れば$3$つの解をもつことを示せば良い。$f(x) = x^3-x-s(x-p) – q$とする。$$\begin{eqnarray}f(p-1) & = & (p-1)^3-(p-1)+s – q\\ f(p+1) & = & (p+1)^3-(p+1)-s – q\end{eqnarray}$$である。なので、$f(p-1), f(p+1)$はともに$s$に関しての$1$次関数である。したがって$p, q$を固定して$s$を動かしたとき、十分大きな$s$をとれば、$f(p-1)>0$かつ$f(p-1)<0$とすることができる。$f(x)$は$3$次関数なので、$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}{f(x)} = -\infty, \lim_{x\to\infty}{f(x)} = \infty$だから、$y = f(x)$の増減は以下の表のようになる。

$x$	$-\infty$		$p-1$		$p+1$		$\infty$
$f(x)$	$-$		$+$		$-$		$+$

$f(x)$の増減表

よって、中間値の定理から$f(x) = 0$は$-\infty$から$p-1$の間に$1$つ、$p-1$から$p+1$の間に$1$つ、$p+1$から$\infty$の間に$1$つ、合計$3$つの解をもつ。

$(2)$ $(1)$より$C$と$l$が$3$点で交わることが保証されたので、その$x$座標を小さい順に$\alpha, \beta, \gamma$とする。囲まれた$2$つの部分の面積が等しいとき、$$\int_{\alpha}^{\beta}{f(x)dx} = -\int_{\beta}^{\gamma}{f(x)dx}$$である。変形して、$$\begin{eqnarray}\int_{\alpha}^{\beta}{f(x)dx} + \int_{\beta}^{\gamma}{f(x)dx} & = & \int_{\alpha}^{\gamma}{f(x)}dx = 0\end{eqnarray}$$となる。$f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$であるが、これを$$\begin{eqnarray}f(x) & = & (x-\alpha)(x-\gamma)(x-\alpha+\alpha-\beta)\\ & = & (x-\alpha)^2(x-\gamma)+(\alpha-\beta)(x-\alpha)(x-\gamma)\\ & = & (x-\alpha)^2(x-\alpha+\alpha-\gamma)+(\alpha-\beta)(x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\gamma)\\ & = & (x-\alpha)^3 + (\alpha-\gamma)(x-\alpha)^2 + (\alpha-\beta)(x-\alpha)^2 + (\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)(x-\alpha) \\ & = & (x-\alpha)^3 + (2\alpha-\beta-\gamma)(x-\alpha)^2 + (\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)(x-\alpha)\end{eqnarray}$$と変形してから、$\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma}{f(x)dx} = 0$に代入すると、$$\begin{eqnarray}& &\frac{(\gamma-\alpha)^4}{4} +(2\alpha-\beta-\gamma)\cdot \frac{(\gamma-\alpha)^3}{3} + (\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)\cdot \frac{(\gamma-\alpha)^2}{2} \\ & = & \frac{(\gamma-\alpha)^3}{12}\left(3(\gamma-\alpha)+4(2\alpha-\beta-\gamma)-6(\alpha-\beta)\right)\\ & = & \frac{(\gamma-\alpha)^3}{12}(-\alpha-\gamma+2\beta) = 0\end{eqnarray}$$となる。$\gamma-\alpha\ne 0$だから、$-\alpha-\gamma +2\beta = 0$となる。一方、$\alpha, \beta, \gamma$は$f(x) = x^3-x-s(x-p)-q$の解で、解と係数の関係から$\alpha+\beta+\gamma = 0$となる。これから、$\beta = 0, \gamma = -\alpha$となる。したがって、$l$は原点を通る直線である。$f(0) = sp-q = 0$だから、$f(x) = x^3-x-sx$となる。$f(x) = 0$が異なる$3$つの解を持つ条件を求める。$$f^{\prime}(x) = 3x^2-1-s$$であるから、$s+1\leq 0$のとき$f^{\prime}(x)$は単調増加あるいは非減少となり、$f(x) = 0$は多くとも$2$つしか解を持たない。したがって$s+1> 0$が必要である。このとき、$\displaystyle f^{\prime}(x) = 0$を満たすのは$\displaystyle x = \pm\sqrt{\frac{s+1}{3}}$であり、$f(x) = 0$が$3$つの解をもつ必要十分条件は$\displaystyle f\left(-\sqrt{\frac{s+1}{3}}\right) $と$\displaystyle f\left(\sqrt{\frac{s+1}{3}}\right)$の符号が異なることである。$$\begin{eqnarray}f\left(-\sqrt{\frac{s+1}{3}}\right) & = & \frac{2}{3}(s+1)\sqrt{\frac{s+1}{3}}\\ f\left(\sqrt{\frac{s+1}{3}}\right) & = & -\frac{2}{3}(s+1)\sqrt{\frac{s+1}{3}}\end{eqnarray}$$であるから、求める条件は$$-\frac{4}{27}(s+1)^3 < 0$$である。これは、$s > -1$と同値である。以上から、求める条件は$s > -1$で良く、図示すると以下のようになる。原点は含むが、境界は含まない。

解説

$(1)$ $f^{\prime}(x) = 0$となる$x$を具体的に求めても良いし、解答のようにあっさりと済ませても良いだろう。どんな$3$次関数でも、問題のように$3$点で交わる直線をとることができるが、図で証明しようとしてもなかなか難しい。

$(2)$ $3$次関数と、$3$次関数と$3$点で交わる直線があって、囲まれた$2$つの部分の面積が等しいとき、必ずその直線は$3$次関数の変曲点を通る。その事自体は解答のように計算で示せるが、これを既知として用いてよいのかどうかが問題になる。解答を見ても分かる通り、証明は難しくはないが煩わしい。$3$次関数について我々はよく知っている筈なので、$l$が変曲点を通ることが当たり前と感じた受験生には、かえって難しく感じたかもしれない。$3$次関数の性質については、以下の問題も参照すると良い。